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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
Démonstration. Considérons la fonction
v(s, t) = w(s 0 + s, t 0 + t) +
b
4
(s
2 + t
2 )
qui vérifie
Δv(s, t) = Δw(s 0 + s, t 0 + t) + b ≥ 0.
Il ne reste qu’à appliquer l’inégalité de la moyenne
(12) à v :
w(s 0 , t 0 ) = v(0) ≤
1
πr 2
Br(0)
v
=
1
πr 2
Br(s0,t0)
w +
1
πr 2
Br (0)
b(s
2 + t
2 )
4
ds dt
=
1
πr 2
Br(s0,t0)
w +
br
2
8
,
ce qui démontre le lemme.
L’étape suivante est appelée « la ruse de Heinz » (the Heinz trick)
dans [44] (dont cette démonstration est inspirée). La ruse consiste à
considérer la fonction
f : [0, 1] −→ R
ρ −→ (1 − ρ)
2
sup
Bρ(s0,t0)
w.
qui vérifie f (0) = w(s 0 , t 0 ) et f (1) = 0. Il y a donc un ρ dans [0, 1[ où f
atteint son maximum,
max
ρ∈[0,1]
f = f (ρ ).
Soient encore
c = sup
Bρ (s0,t0)
w = w(z ) pour z ∈ B ρ (s 0 , t 0 ) et η =
1 − ρ
2
.
Notons que η ∈ ]0,
1
2 ] et que ρ + η ≤ 1, de sorte que
B η (z ) ⊂ B ρ+η (s 0 , t 0 ) ⊂ B 1 (s 0 , t 0 ).
Nous avons maintenant
sup
Bη(z)
w ≤
sup
Bρ +η (s0,t0)
w =
f (ρ + η)
(1 − ρ − η) 2 =
4f (ρ + η)
(1 − ρ) 2
≤
4f (ρ )
(1 − ρ ) 2 = 4c.
Donc, sur la boule B η (z ), nous avons
Δw ≥ −aw ≥ −4ac.
(12) Cette variante de l’égalité de la moyenne est rappelée ici dans la proposition 16.5.6.