8.9. LA DÉCROISSANCE EXPONENTIELLE
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Il ne reste plus qu’à appliquer le proposition à w(s, t) = Y (s, t)
2 .
Démonstration du lemme. C’est un petit calcul :
ΔY, Y =
∂
2
∂t 2 Y, Y +
∂
2
∂s 2 Y, Y
= 2
∂Y
∂s
2
+
∂Y
∂t
2
+ ΔY, Y
,
puis
Δ =
∂
∂s
− J 0
∂
∂t
∂
∂s
+ J 0
∂
∂t
de sorte que, si Y est solution de l’équation de Floer linéarisée,
ΔY =
∂
∂s
− J 0
∂
∂t
∂
∂s
+ J 0
∂
∂t
Y
=
∂
∂s
− J 0
∂
∂t
(−SY ).
Ainsi
ΔY, Y =
−
∂S
∂s
Y, Y
−
S
∂Y
∂s
, Y
+
J 0
∂S
∂t
Y, Y
+
J 0 S
∂Y
∂t
, Y
et
ΔY, Y = 2
∂Y
∂s
2 −
S
∂Y
∂s
, Y
+ 2
∂Y
∂t
2
+
J 0 S
∂Y
∂t
, Y
− 2
∂S
∂s
Y, Y
+ 2
J 0
∂S
∂t
Y, Y
.
Chacun des termes du membre de droite est minoré par un −c Y
2 . C’est
clair pour les deux derniers (grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz). Étudions donc les deux premiers :
∂Y
∂s
2 −
Y
∂S
∂s
, Y
=
∂Y
∂s
2 −
∂Y
∂s
,
t
SY
=
∂Y
∂s
−
1
2
t
SY
2 −
1
4
t SY
2
≥ −
1
4
t SY
2
≥ −c Y
2
et il en est de même pour le deuxième terme, ce qui donne la minoration
attendue.
Démonstration de la proposition. Elle commence par un lemme :
Lemme 8.9.8. Soit w : B r (s 0 , t 0 ) → R une fonction positive de classe C
2 telle
que Δw ≥ −b pour une constante b > 0. Alors on a
w(s 0 , t 0 ) ≤
br
2
8
+
1
r 2
Br(s0,t0)
w.