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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
Démonstration. Posons
g(s) = e
−δs (f
(s) + δf (s)),
de sorte que
g
(s) = e
−δs (−δ(f
(s) + δf (s)) + f
(s) + δf
(s))
= e
−δs (f
(s) − δ
2 f (s))
≥ 0, d’après l’hypothèse faite sur f.
En particulier, la fonction g est croissante sur [s 0 , +∞[.
Supposons d’abord qu’il existe un s 1 ≥ s 0 avec g(s 1 ) > 0. Alors g(s) ≥
g(s 1 ) pour s ≥ s 1 et
f
(s) + δf (s) ≥ e
δs g(s 1 )
pour s ≥ s 1 . Soit h(s) = e
δs f (s), on a :
h
(s) = e
δs (δf + f
) ≥ e
2δs g(s 1 ),
donc h(s) ≥ Ae
2δs pour s ≥ s 1 et f (s) ≥ Ae
δs tend vers +∞.
Sinon, on a g(s) ≤ 0 pour s ≥ s 0 , donc aussi f
(s) + δf (s) ≤ 0 et
h(s) = e
δs f (s) est décroissante sur [s 0 , +∞[ et finalement
e
δs f (s) = h(s) ≤ h(s 0 ) = e
δs0 f (s 0 ),
c’est-à-dire
f (s) ≤ e
δs0 f (s 0 )e
−δs ,
ce qui termine la démonstration du lemme.
Et ce qui achève aussi la démonstration de la proposition.
Nous avons donc montré que
∀ s ∈ R, Y
2
L 2 (S 1 ) ≤ e
−δ|s| ,
ce qui n’est pas exactement l’énoncé du théorème que nous avons en vue.
Il reste à vérifier que l’on a (point par point)
∀ (s, t) ∈ R × S
1 , |Y (s, t)| ≤ Ce
−δ|s| .
Nous montrons pour ce faire :
Lemme 8.9.6. Soit Y une solution de classe C
2 de l’équation de Floer linéarisée. Il existe une constante a > 1 telle que
Δ Y
2 ≥ −a Y
2 .
Proposition 8.9.7. Soit w : R
2
→ R une fonction positive de classe C
2 telle
que Δw ≥ −aw pour une constante a > 1. Alors on a
∀ (s 0 , t 0 ) ∈ R
2 , w(s 0 , t 0 ) ≤
8a
π
B1(s0,t0)
w ds dt.