8.9. LA DÉCROISSANCE EXPONENTIELLE
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et l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on obtient
1
0
Y,
∂S
∂s
Y dt ≤
1
0
Y
2 dt
1/2 1
0
∂S
∂s
Y
2
dt
1/2
≤
1
0
Y
2 dt
1/2
ε
1
0
Y
2 dt
1/2
≤ ε
1
0
Y
2 dt pour |s| assez grand.
Et en utilisant le fait que
t
S − S tend vers 0, on a
1
0
Y, (
t
S − S)
∂Y
∂s
dt
≤ η
1
0
Y
2 dt
1/2 1
0
∂Y
∂s
2
dt
1/2
pour |s| assez grand. Nous avons donc obtenu l’inégalité
f
(s) ≥
1
0
∂Y
∂s
2
dt−ε
1
0
Y
2 dt
− η
1
0
Y
2 dt
1/2 1
0
∂Y
∂s
2
dt
1/2
.
Utilisons maintenant le fait que
∂Y
∂s
= −J
∂Y
∂t
− SY = AY, avec AY = A 0 Y + (S − S ± )Y
où A 0 est un opérateur sur L
2 dont nous avons montré (c’est le lemme 8.7.5)
qu’il était inversible et où S − S ± tend vers 0 quand s → ±∞. Par suite, A
est inversible (de W
1,2 (S
1 ) dans L
2 (S
1 )) pour |s| assez grand et nous avons :
AY L 2 (S 1 ) ≥ D Y W 1,2 (S 1 ) ≥ ≥Y L 2 (S 1 )
pour une certaine constante positive D. Nous avons donc
f
(s) = AY
2
L 2 − ε Y
2
L 2 − η Y L 2 AY L 2
= AY L 2 (AY L 2 − η Y L 2 ) − ε Y
2
L 2
≥ (D(D − η) − ε) Y
2
L 2
≥ δ
2 f (s)
pour |s| assez grand et pour une constante δ > 0. La fonction f satisfait bien
à une inéquation différentielle du type annoncé. La fin de la démonstration
de la proposition vient du lemme ci-dessous (que nous énonçons en +∞
mais dont l’analogue en −∞ est évidemment vrai aussi).
Lemme 8.9.5. Si f
(s) ≥ δ
2 f (s) pour s ≥ s 0 , alors
– soit lim s→+∞ f (s) = +∞,
– soit f (s) ≤ f (s 0 )e
−δ(s−s0) pour s ≥ s 0 .