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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
pour une certaine constante δ. Calculons donc ses dérivées :
f
(s) =
1
0
Y (s, t),
∂Y
∂s
(s, t)
dt
f
(s) =
1
0
∂Y
∂s
(s, t)
2
dt +
1
0
Y (s, t),
∂
2 Y
∂s 2 (s, t)
dt.
Évaluons le deuxième terme en utilisant le fait que Y est une solution de
l’équation linéarisée, c’est-à-dire satisfait à
∂Y
∂s
= −J
∂Y
∂t
− SY.
Nous avons donc
∂
2 Y
∂s 2 = −J
∂
2 Y
∂s ∂t
−
∂S
∂s
Y − S
∂Y
∂s
.
Ainsi,
1
0
Y,
∂
2 Y
∂s 2
dt = −
1
0
Y, J
∂
2 Y
∂s ∂t
dt −
1
0
Y,
∂S
∂s
Y
dt
−
1
0
Y, S
∂Y
∂s
dt.
La première de ces intégrales se calcule par une intégration par parties
1
0
Y, J
∂
2 Y
∂s ∂t
dt = −
1
0
∂Y
∂t
, J
∂Y
∂s
dt
= −
1
0
J
∂Y
∂s
, J
∂Y
∂s
dt −
1
0
JSY, J
∂Y
∂s
dt
= −
1
0
∂Y
∂s
2
dt −
1
0
SY,
∂Y
∂s
dt.
De sorte que nous avons
1
0
Y,
∂
2 Y
∂s 2
dt =
1
0
∂Y
∂s
2
dt +
1
0
SY,
∂Y
∂s
dt
−
1
0
Y,
∂S
∂s
Y
dt −
1
0
Y, S
∂Y
∂s
dt.
La dérivée seconde de la fonction f vaut donc
f
(s) =
1
0
∂Y
∂s
2
dt −
1
0
Y,
∂S
∂s
dt +
1
0
Y, (
t
S − S)
∂Y
∂s
dt.
En utilisant le fait (démontré dans la proposition 8.4.6) que
lim
s→±∞
sup
t
∂S
∂s
(s, t) = 0