8.9. LA DÉCROISSANCE EXPONENTIELLE
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8.9. La décroissance exponentielle
Dans ce paragraphe, nous montrons la propriété de décroissance déjà
utilisée plusieurs fois, c’est-à-dire le théorème :
Théorème 8.9.1. Si Y est une solution de classe C
2 de l’équation de Floer
linéarisée le long d’une solution d’énergie finie, alors,
– soit
Y (s, t)
2 dt tend vers l’infini quand s tend vers ±∞,
– soit Y vérifie
Y (s, t) ≤ Ce
−δ|s|
pour certaines constantes δ et C (et pour tout t).
Remarque 8.9.2. Les dérivées partielles de Y sont à décroissance exponentielle : pour ∂Y /∂s par intégration de l’exponentielle, pour ∂Y /∂t en appliquant l’équation.
Remarque 8.9.3. Si u est la solution de l’équation de Floer le long de laquelle
on linéarise, la solution Y = ∂u/∂s est dans l’espace L
p (R × S
1 ; R
2n ) pour
tout p > 1. En effet, comme l’énergie de u est finie,
∂u
∂s
2
dt ne tend pas vers + ∞ quand s −→ ±∞,
ce qui exclut le premier cas dans l’énoncé du théorème pour ce type de
solutions.
Nous démontrerons le théorème comme conséquence de la proposition
suivante, qui affirme une propriété de « décroissance exponentielle » :
Proposition 8.9.4. Si Y est une solution de l’équation de Floer linéarisée le
long d’une solution u de l’équation de Floer d’énergie finie et si Y ne tend
pas vers l’infini, il existe des constantes δ > 0 (ne dépendant que de u) et
C > 0 telles que
1
0
Y (s, t)
2 dt ≤ Ce
−δ|s| .
Démonstration. La formule
f (s) =
1
2
1
0
Y (s, t)
2 dt =
1
2
Y
2
L 2 (S 1 )
définit une fonction f : R → R de classe C
2 . Nous allons montrer que cette
fonction satisfait à une inéquation différentielle
f
≥ δ
2 f