266
CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
pour certaines constantes K et K
. Pour que cette solution soit bien dans L
p ,
il faut (et il suffit) que les termes exponentiels tendent vers 0 à l’infini, c’està-dire que
– (termes = 0) α = β = 0 ou 2ππ > a
−
1 et 2ππ > a
−
2 ;
– (terme = 0) (α 0 = 0 ou a
−
1 < 0) et (β 0 = 0 ou a
−
2 < 0).
De même, pour s ≥ s 0 , on a
Y (s, t) =
∈Z
e
(2ππ−a
+
1 )s+C (α cos 2ππt − β sin 2ππt)
e
(2ππ−a
+
2 )s+C
(α sin 2ππt + β cos 2ππt)
,
ce qui impose
– termes = 0 : α = β = 0 ou 2ππ < a
+
1 et 2ππ < a
+
2 ;
– terme = 0 : (α 0 = 0 ou a
+
1 > 0) et (β 0 = 0 ou a
+
2 > 0).
Il reste à mettre toutes ces conditions ensemble, ce qui donne
– termes = 0 : α = β = 0 ou max(a
−
1 , a
−
2 ) < 2ππ < min(a
+
1 , a
+
2 ) ;
– terme = 0 : (α 0 = 0 ou a
−
1 < 0 < a
+
1 ) et (β 0 = 0 ou a
−
2 < 0 < a
+
2 ).
Il n’y a qu’un nombre fini de valeurs de qui répondent à toutes ces
exigences, et ces conditions sont suffisantes pour que le Y (s, t) trouvé soit
bien dans W
1,p . La dimension de l’espace de solutions obtenu est bien
dim Ker F = 2#
∈ Z
| max(a
−
1 , a
−
2 ) < 2ππ < min(a
+
1 , a
+
2 )
+ #
i ∈ {1, 2} | a
−
i < 0 < a
+
i
.
Déduisons-en la dimension du noyau de F
. Si Y ∈ Ker F
, alors Z(s, t) =
Y (−s, t) satisfait à
F = 0, où
F est l’opérateur
F : W
1,q (R × S
1 ) −→ L
q (R × S
1 )
Z −→
∂Z
∂s
+ J 0
∂Z
∂t
+ S(−s)Z.
La réciproque est clairement vraie elle aussi, donc
Ker F
= Ker
F .
La formule qui donne la dimension de Ker F
est donc celle qui donne celle
de Ker
F , dans laquelle on a échangé les a
−
i et les a
+
i .
Conclusion : en vertu de la proposition 8.7.1 et du théorème 8.8.1, nous
avons ainsi fini de démontrer le théorème 8.1.5.
Remarque 8.8.8. Nous avons remplacé l’opérateur de Fredholm L par un
opérateur dont nous savons qu’il a le même indice... et dont nous savons
calculer l’indice, parce que nous sommes capables de décrire son noyau et
son conoyau. Il va sans dire que les dimensions de ces deux sous-espaces n’ont
aucune raison d’être celles du noyau ou du conoyau de L : c’est l’indice qui
est invariant.
CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
pour certaines constantes K et K
. Pour que cette solution soit bien dans L
p ,
il faut (et il suffit) que les termes exponentiels tendent vers 0 à l’infini, c’està-dire que
– (termes = 0) α = β = 0 ou 2ππ > a
−
1 et 2ππ > a
−
2 ;
– (terme = 0) (α 0 = 0 ou a
−
1 < 0) et (β 0 = 0 ou a
−
2 < 0).
De même, pour s ≥ s 0 , on a
Y (s, t) =
∈Z
e
(2ππ−a
+
1 )s+C (α cos 2ππt − β sin 2ππt)
e
(2ππ−a
+
2 )s+C
(α sin 2ππt + β cos 2ππt)
,
ce qui impose
– termes = 0 : α = β = 0 ou 2ππ < a
+
1 et 2ππ < a
+
2 ;
– terme = 0 : (α 0 = 0 ou a
+
1 > 0) et (β 0 = 0 ou a
+
2 > 0).
Il reste à mettre toutes ces conditions ensemble, ce qui donne
– termes = 0 : α = β = 0 ou max(a
−
1 , a
−
2 ) < 2ππ < min(a
+
1 , a
+
2 ) ;
– terme = 0 : (α 0 = 0 ou a
−
1 < 0 < a
+
1 ) et (β 0 = 0 ou a
−
2 < 0 < a
+
2 ).
Il n’y a qu’un nombre fini de valeurs de qui répondent à toutes ces
exigences, et ces conditions sont suffisantes pour que le Y (s, t) trouvé soit
bien dans W
1,p . La dimension de l’espace de solutions obtenu est bien
dim Ker F = 2#
∈ Z
| max(a
−
1 , a
−
2 ) < 2ππ < min(a
+
1 , a
+
2 )
+ #
i ∈ {1, 2} | a
−
i < 0 < a
+
i
.
Déduisons-en la dimension du noyau de F
. Si Y ∈ Ker F
, alors Z(s, t) =
Y (−s, t) satisfait à
F = 0, où
F est l’opérateur
F : W
1,q (R × S
1 ) −→ L
q (R × S
1 )
Z −→
∂Z
∂s
+ J 0
∂Z
∂t
+ S(−s)Z.
La réciproque est clairement vraie elle aussi, donc
Ker F
= Ker
F .
La formule qui donne la dimension de Ker F
est donc celle qui donne celle
de Ker
F , dans laquelle on a échangé les a
−
i et les a
+
i .
Conclusion : en vertu de la proposition 8.7.1 et du théorème 8.8.1, nous
avons ainsi fini de démontrer le théorème 8.1.5.
Remarque 8.8.8. Nous avons remplacé l’opérateur de Fredholm L par un
opérateur dont nous savons qu’il a le même indice... et dont nous savons
calculer l’indice, parce que nous sommes capables de décrire son noyau et
son conoyau. Il va sans dire que les dimensions de ces deux sous-espaces n’ont
aucune raison d’être celles du noyau ou du conoyau de L : c’est l’indice qui
est invariant.