8.8. LE CALCUL DE L’INDICE DE L
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ou
∂Y + S(s)Y = 0.
Le changement de fonction inconnue Y = B
Y avec B une matrice inversible
vérifiant
∂B + SB = 0
transforme cette équation en
∂
Y = 0
(nous sommes en train de transformer l’équation en l’équation de CauchyRiemann, exactement comme nous l’avons déjà fait au § 8.6).
Le plus simple est de choisir pour B la matrice réelle
B =
b 1 (s) 0
0 b 2 (s)
avec b
i = −a i b i ,
soit
b i (s) = exp
s
0
−a i (σ)dσ = exp(−A 1 (s))
et c’est ce que nous faisons ici. N’omettons pas de remarquer que, pour
s ≤ −σ 0 , A i (s) = B i + a
−
i s et, de même, pour s ≥ σ 0 , A i (s) = C i + a
+
i s,
pour certaines constantes B i et C i .
La nouvelle fonction inconnue
Y satisfait l’équation de Cauchy-Riemann
∂
Y = 0. Elle est continue grâce à la régularité elliptique, c’est donc une
fonction holomorphe de s + it, et, en vertu des théorèmes de Cauchy, elle
est, en particulier, de classe C
∞ . Les parties réelle et imaginaire
Y 1 et
Y 2
sont de classe C
∞ et harmoniques.
On identifie maintenant les s + it ∈ R × S
1 aux u = e
2πz , de sorte que
le théorème de Laurent (pour
Y (u) sur C − {0}), donne le développement
de
Y en z. Les solutions de notre système sont donc les
Y (s + it) =
∈Z
c e
(s+it)2ππ
(où c ∈ C et la série converge pour tous s et t) ; en notations réelles :
Y (s, t) =
∈Z
e
2πss
α
cos 2ππt
sin 2ππt
+ β
− sin 2ππt
cos 2ππt
.
En revenant à notre vecteur inconnu Y = B
Y , on a donc
Y (s, t) =
∈Z
e
2πss
α
e
−A1(s) cos 2ππt
e
−A2(s) sin 2ππt
+ β
−e
−A1(s) sin 2ππt
e
−A2(s) cos 2ππt
.
Pour s ≤ −s 0 , on a
Y (s, t) =
∈Z
e
(2ππ−a
−
1 )s+K (α cos 2ππt − β sin 2ππt)
e
(2ππ−a
−
2 )s+K
(α sin 2ππt + β cos 2ππt)