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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
Ainsi, dans ce cas aussi
Ind(L 1 ) = k
−
− k
+ .
(3) Le cas où les matrices S k − et S k + sont les diagonales
S k − = (−π, −π, . . . , 1, −1, (n − 2 − k
− )π, (n − 2 − k
− )π)
S k + = (−π, −π, . . . , −π, −π, (n − 1 − k
+ )π, (n − 1 − k
+ )π)
avec cette fois k
−
≡ n − 1 mod 2 et k
+
≡ n mod 2. Dans ce cas, on a de
même (en inversant les rôles de S k − et S k + ),
dim Ker L 1 =
k
−
− k
+ + 1 si k
− > k
+ ,
0
sinon,
dim Ker L
1 =
k
+
− k
−
si k
+ > k
− ,
1
sinon,
et
ce qui fait que, dans ce cas encore, on a bien
Ind(L 1 ) = k
−
− k
+ .
(4) Reste le cas où les matrices S k − et S k + sont les diagonales
S k − = (−π, −π, . . . , 1, −1, (n − 2 − k
− )π, (n − 2 − k
− )π)
S k + = (−π, −π, . . . , 1, −1, (n − 2 − k
+ )π, (n − 2 − k
+ )π)
et k
+
≡ k
−
≡ n − 1 mod 2. On a
dim Ker L 1 =
k
−
− k
+
si k
+ > k
− ,
0
sinon,
dim Ker L
1 =
k
+
− k
−
si k
− > k
+ ,
0
sinon,
et
et l’on a donc bien, dans ce cas comme dans les autres,
Ind(L 1 ) = k
−
− k
+ ,
ce qui termine la démonstration de la proposition.
Démonstration du lemme 8.8.5. Posons
Y (s, t) = (Y 1 (s, t), Y 2 (s, t)) ∈ R
2
= Y 1 (s + it) + iY 2 (s + it) ∈ C.
L’équation aux dérivées partielles F (Y ) = 0 s’écrit
∂
∂s
Y 1
Y 2
+
0 −1
1 0
∂
∂t
Y 1
Y 2
+
a 1 (s) 0
0 a 2 (s)
Y 1
Y 2
= 0,