8.8. LE CALCUL DE L’INDICE DE L
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La démonstration du lemme 8.8.5 est un calcul explicite du noyau, que
nous ferons plus bas. Voici comment, en l’admettant provisoirement, on termine la démonstration de la proposition en l’utilisant pour calculer l’indice
de L 1 . Il y a quatre cas à envisager, selon les parités possibles de k
+
− n et
de k
−
− n.
(1) Le cas où les matrices S k − et S k + sont les diagonales
S k − = (−π, −π, . . . , −π, −π, (n − 1 − k
− )π, (n − 1 − k
− )π)
S k + = (−π, −π, . . . , −π, −π, (n − 1 − k
+ )π, (n − 1 − k
+ )π)
avec k
−
≡ k
+
≡ n mod 2. Dans le lemme ci-dessus, on a a
±
1 = a
±
2 et le
lemme donne
dim Ker L 1 = 2#
∈ Z
| n − 1 − k
− < 2 < n − 1 − k
+
(+2 si n − 1 − k
− < 0 < n − 1 − k
+ )
= 2#
∈ Z | n − 1 − k
− < 2 < n − 1 − k
+
=
k
−
− k
+
si k
− > k
+ ,
0
sinon,
dim Ker L
1 = 2#
∈ Z | k
−
− n + 1 < 2 < k
+
− n + 1
et
=
k
+
− k
−
si k
+ > k
− ,
0
sinon.
De sorte que
Ind(L 1 ) = k
−
− k
+ .
(2) Le cas où les matrices S k − et S k + sont les diagonales
S k − = (−π, −π, . . . , −π, −π, (n − 1 − k
− )π, (n − 1 − k
− )π)
S k + = (−π, −π, . . . , 1, −1, (n − 2 − k
+ )π, (n − 2 − k
+ )π)
avec k
−
≡ n mod 2 et k
+
≡ n − 1 mod 2. Dans ce cas,
dim Ker L 1 = 2#
∈ Z | n − 1 − k
− < 2 < n − 2 − k
+
+ # { ∈ Z
| max(−π, 1) < 2ππ < min(−π, −1)} + 1
=
(k
−
− k
+
− 1) + 1 si k
− > k
+ ,
1
s i k
−
≤ k
+ ,
dim Ker L
1 = 2#
∈ Z | k
−
− n + 1 < 2 < k
+
− n + 2
et
=
k
+
− k
− + 1 si k
+ > k
− ,
0
sinon.