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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
on se ramène au cas où n = 1. On suppose donc que la matrice diagonale
S(s) est une matrice 2 × 2, de la forme
S(s) =
a 1 (s) 0
0 a 2 (s)
, avec a i (s) =
a
−
i
si s ≤ −s 0 ,
a
+
i
si s ≥ s 0 .
On démontre :
Lemme 8.8.5. Soit p > 1 et soit
F : W
1,p (R × S
1 ; R
2 ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2 )
défini par
F (Y ) =
∂Y
∂s
+ J 0
∂Y
∂t
+ S(s)Y.
On suppose que a
±
i ∈ 2πZ. Alors
dim Ker F = 2#
∈ Z
| max(a
−
1 , a
−
2 ) < 2ππ < min(a
+
1 , a
+
2 )
+ #
i ∈ {1, 2} | a
−
i < 0 et a
+
i > 0
,
dim Ker F
= 2#
∈ Z
| max(a
+
1 , a
+
2 ) < 2ππ < min(a
−
1 , a
−
2 )
+ #
i ∈ {1, 2} | a
+
i < 0 et a
−
i > 0
.
Remarque 8.8.6. C’est assez proche de la formule calculant l’indice dans le
cas de Morse en termes du nombre de valeurs propres qui changent de signe
(voir les indications de démonstration de la proposition 10.2.8).
Exemple 8.8.7. Si les valeurs propres a i (s) sont comme indiqué sur la figure 8,
la dimension du noyau est 9, soit 8 (le double du nombre de multiples entiers
de 2π entre la plus grande des valeurs propres a
−
i et la plus petite des valeurs
propres a
+
i ) +1 (le nombre des valeurs propres négatives qui sont devenues
positives entre −∞ et +∞).
−∞
+∞
0
−2π
−4π
Figure 8