8.8. LE CALCUL DE L’INDICE DE L
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On a ainsi obtenu des applications
S ± : [0, 1] × S
1
−→ M (2n; R)
à valeurs dans l’espace des matrices symétriques et tels que, pour tout λ ∈
[0, 1], t → ± (λ, t) engendre un chemin dans S et
– S ± (0, t) engendre R
± (t) ;
– S ± (1, t) = S k ± est indépendant de t et engendre R k ± (t).
On peut alors définir une application continue
S : [0, 1] × R × S
1
−→ M (2n; R)
telle que
S λ (s, t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
S(s, t) si λ = 0
S
+
λ (t) si s ≥ σ 0
S
−
λ (t) si s ≤ −σ 0
S(s)
si λ = 1.
Ce qui définit une famille d’opérateurs
L λ : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
Y −→
∂Y
∂s
+ J
∂Y
∂t
+ S λ (s, t)Y,
tous de Fredholm (grâce toujours au théorème 8.7.1) et tous avec le même
indice (en vertu du théorème d’invariance 16.2.9). L’opérateur L 1 est celui
annoncé dans l’énoncé de la proposition.
Démonstration de la proposition 8.8.3. Dans la démonstration du théorème 8.7.1, on a utilisé le fait que Coker L 1 est isomorphe à Ker L
1 où
l’adjoint L
1 de L 1 est
L
1 : W
1,q (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
q (R × S
1 ; R
2n )
Z −→ −
∂Z
∂s
+ J 0
∂Z
∂t
+
t
S(s)Z,
avec 1/p + 1/q = 1. Il est donc suffisant de calculer la dimension du noyau
des opérateurs de ce type. Puisque
J 0 =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 −1
1 0
0 −1
1 0
. . .
0 −1
1 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
est dans M (2; R) × · · · × M (2; R),