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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
Puis Σ(s, t) coïncide avec S ± (t) pour |s| ≥ 2σ 0 , alors que nous voulons
cette propriété avec s 0 à la place de σ 0 (σ 0 nous a été imposé par le choix
de ε). Il suffit de relier Σ(s, t) à Σ 0 (s, t) définie de façon analogue
Σ 0 (s, t) =
S − (t) si s ≤ −s 0
S + (t) si s ≥ s 0
par un chemin constant pour s assez grand. L’indice des opérateurs de
Fredholm définis par ce chemin est constant, en application de la même
propriété (voir la remarque 16.2.11).
Nous allons utiliser le lien, établi au § 7.2.c, entre chemins dans Sp(2n)
et matrices fondamentales R(t) de solutions des équations
dY
dt
= JS(t)Y
déjà considérées dans la démonstration du lemme 8.7.5, ainsi que les chemins
d’indice de Maslov prescrit construits au § 7.2.d.
Démonstration de la proposition 8.8.2. Les matrices diagonales S k de la
démonstration du lemme 7.2.4 définissent des chemins symplectiques
R k ± (t) = e
tJS k ± qui ont le même indice de Maslov (k
± ) que R ± (t). Il
existe donc (par la proposition 7.1.4) une homotopie ψ
± (λ, t), que l’on peut
supposer de classe C
1 ,
ψ
± : [0, 1] × [0, 1] −→ Sp(2n)
(avec ψ
± (λ, ·) ∈ S pour tout λ) entre R k ± (t) et R
± (t).
Comme nous l’avons remarqué dans le lemme 7.2.3, ce chemin de matrices
symplectiques engendre un chemin de matrices symétriques
S
±
λ (t) = −J ˙
ψ
±
λ (t)(ψ
±
λ (t))
−1 .
Le seul problème est que notre variable t est dans S
1 , nous voulons donc
des chemins périodiques en t. Pour cela, on modifie les homotopies ψ
±
comme suit. On utilise une fonction C
∞ croissante
χ : [0, 1] −→ [0, 1]
nulle près de 0, égale à 1 près de 1 et une homotopie χ λ reliant χ à Id. Le
chemin de matrices symétriques associé à R k ± (χ λ (t)) est ˙
χ λ (t)S k ± et il est
périodique si l’on a choisi l’homotopie de façon que ˙
χ λ (0) = ˙
χ λ (1).
On relie de même les chemins R
± (t) et R
± (χ(t)) par l’homotopie
R(χ λ (t)) dont les chemins de matrices symétriques associés sont périodiques pour tout λ. On considère ensuite l’homotopie ψ
± (λ, χ(t)). Les
chemins de matrices symétriques associés sont nuls près de t = 0 et t = 1,
et en particulier périodiques.
CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
Puis Σ(s, t) coïncide avec S ± (t) pour |s| ≥ 2σ 0 , alors que nous voulons
cette propriété avec s 0 à la place de σ 0 (σ 0 nous a été imposé par le choix
de ε). Il suffit de relier Σ(s, t) à Σ 0 (s, t) définie de façon analogue
Σ 0 (s, t) =
S − (t) si s ≤ −s 0
S + (t) si s ≥ s 0
par un chemin constant pour s assez grand. L’indice des opérateurs de
Fredholm définis par ce chemin est constant, en application de la même
propriété (voir la remarque 16.2.11).
Nous allons utiliser le lien, établi au § 7.2.c, entre chemins dans Sp(2n)
et matrices fondamentales R(t) de solutions des équations
dY
dt
= JS(t)Y
déjà considérées dans la démonstration du lemme 8.7.5, ainsi que les chemins
d’indice de Maslov prescrit construits au § 7.2.d.
Démonstration de la proposition 8.8.2. Les matrices diagonales S k de la
démonstration du lemme 7.2.4 définissent des chemins symplectiques
R k ± (t) = e
tJS k ± qui ont le même indice de Maslov (k
± ) que R ± (t). Il
existe donc (par la proposition 7.1.4) une homotopie ψ
± (λ, t), que l’on peut
supposer de classe C
1 ,
ψ
± : [0, 1] × [0, 1] −→ Sp(2n)
(avec ψ
± (λ, ·) ∈ S pour tout λ) entre R k ± (t) et R
± (t).
Comme nous l’avons remarqué dans le lemme 7.2.3, ce chemin de matrices
symplectiques engendre un chemin de matrices symétriques
S
±
λ (t) = −J ˙
ψ
±
λ (t)(ψ
±
λ (t))
−1 .
Le seul problème est que notre variable t est dans S
1 , nous voulons donc
des chemins périodiques en t. Pour cela, on modifie les homotopies ψ
±
comme suit. On utilise une fonction C
∞ croissante
χ : [0, 1] −→ [0, 1]
nulle près de 0, égale à 1 près de 1 et une homotopie χ λ reliant χ à Id. Le
chemin de matrices symétriques associé à R k ± (χ λ (t)) est ˙
χ λ (t)S k ± et il est
périodique si l’on a choisi l’homotopie de façon que ˙
χ λ (0) = ˙
χ λ (1).
On relie de même les chemins R
± (t) et R
± (χ(t)) par l’homotopie
R(χ λ (t)) dont les chemins de matrices symétriques associés sont périodiques pour tout λ. On considère ensuite l’homotopie ψ
± (λ, χ(t)). Les
chemins de matrices symétriques associés sont nuls près de t = 0 et t = 1,
et en particulier périodiques.