8.8. LE CALCUL DE L’INDICE DE L
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Soit
L 1 : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
Y −→
∂Y
∂s
+ J
∂Y
∂t
+ S(s)Y.
Alors l’indice de l’opérateur de Fredholm L 1 est le même que celui de L.
Proposition 8.8.3. L’indice de L 1 est k
−
− k
+ .
Pour démontrer la proposition 8.8.2, on modifie L parmi les opérateurs
de Fredholm sans en changer l’indice.
Lemme 8.8.4. L’indice de L est le même que celui de l’opérateur L 0 dans
lequel on a remplacé S(s, t) par S − (t) pour s ≤ −s 0 et par S + (t) pour
s ≥ s 0 .
Démonstration. Fixons un réel ε > 0. Comme la matrice S(s, t) tend vers
S ± (t) pour s → ±∞, il existe un réel σ 0 tel que
Pour s ≤ −σ 0 , S(s, t) − S
− (t) < ε,
pour s ≥ σ 0 ,
S(s, t) − S
+ (t) < ε.
On considère une fonction plateau χ : R → [0, 1] qui vaut 1 pour |s| ≤ σ 0
et 0 pour |s| ≥ 2σ 0 . On définit
Σ(s, t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
χ(s)S(s, t) + (1 − χ(s))S − (t) si s ≤ −σ 0
S(s, t)
s i |s| ≤ σ 0
χ(s)S(s, t) + (1 − χ(s))S + (t) si s ≥ σ 0
et L 0 par
L 0 (Y ) =
∂Y
∂s
+ J
∂Y
∂t
+ ΣY.
Ainsi, LY = L 0 Y + C(s, t)Y , où
C(s, t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
(1 − χ(s))(S(s, t) − S − (t)) si s ≤ −σ 0
0
s i |s| ≤ σ 0
(1 − χ(s))(S(s, t) − S + (t)) si s ≥ σ 0 .
En particulier, C(s, t) < ε. Si ε a été choisi assez petit, nous savons
(c’est le théorème d’invariance de l’indice par petites perturbations, ici le
théorème 16.2.9) que L 0 est un opérateur à indice et qu’il a le même indice
que L.