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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
S(s, t)
S(s, t)
S(s)
t
s
σ 0
−σ 0
−∞
+∞
Figure 7
Rappelons que S : R × S
1
→ M (2n; R) vérifie
lim
s→±∞
S(s, t) = S ± (t) uniformément en t
pour des matrices S ± (t) symétriques (pour tout t ∈ S
1 ). Considérons les
chemins symplectiques (d’après le lemme 7.2.c)
R ± : [0, 1] −→ Sp(2n; R)
associés à ces deux matrices S ± . La remarque 8.4.7 montre que ces chemins
sont exactement ceux qui définissent les indices (de Conley-Zehnder) μ(x)
et μ(y). Nous avons démontré (c’est le théorème 8.7.1) que, si R ± est dans
l’ensemble S des chemins R(t) tels que R(0) = Id et d´ et(R(1) − Id) = 0,
alors L est un opérateur de Fredholm. Nous calculons maintenant son indice :
Théorème 8.8.1. L’indice de l’opérateur de Fredholm L est
μ(R − (t)) − μ(R + (t)) = μ(x) − μ(y).
Appelons k
± l’indice de R ± (t). Utilisons les notations du § 7.2.d et en
particulier les matrices S k ± données par le lemme 7.2.4.
Le théorème sera conséquence des deux propositions suivantes.
Proposition 8.8.2. Soit s 0 un réel positif et soit
S : R −→ M (2n; R)
un chemin de matrices diagonales tel que
S(s) = S k − si s ≤ −s 0 , S(s) = S k + si s ≥ s 0 .