8.8. LE CALCUL DE L’INDICE DE L
257
lui aussi aux hypothèses de la proposition 8.7.4, ce qui lui vaut de satisfaire
aussi à sa conclusion, à savoir que son noyau est de dimension finie.
Montrons que Coker L est de dimension finie. Le théorème de HahnBanach permet de trouver des formes linéaires ϕ : L
p
→ R qui s’annulent
sur Im L, et nous voulons démontrer que l’espace de ces formes est de dimension finie. Le théorème de représentation de Riesz permet d’écrire une
forme linéaire
ϕ = ϕ U pour un U ∈ L
q , avec ϕ U (V ) = U, V .
Comme ces formes sont nulles sur Im L, les U qui les représentent sont
dans F . Mais celui-ci est de dimension finie. Donc Coker L est de dimension
finie. Et la proposition est démontrée.
8.8. Le calcul de l’indice de L
Pour calculer l’indice de L,
L(Y ) =
∂Y
∂s
+ J
∂Y
∂t
+ S(s, t)Y,
avec lim s→±∞ S(s, t) = S ± (t) uniformément en t, nous allons :
(1) Remplacer L par L 0 donné par la même formule... sauf que S(s, t) y
est remplacé par une matrice
S(s, t) qui vaut exactement S − (t) pour s ≤
−σ 0 et S + (t) pour s ≥ σ 0 . L’invariance de l’indice par petites perturbations
(pour σ 0 assez grand) donnera le fait que l’indice de L 0 est le même que
celui de L. C’est le lemme 8.8.4 ci-dessous.
(2) Remplacer L 0 par L 1 , toujours donné par la même formule, mais dans
laquelle
S(s, t) sera remplacé par une matrice diagonale S(s) (ne dépendant
pas de t) et qui sera constante pour s ≤ −σ 0 et s ≥ σ 0 . Cette fois, L 1
aura le même indice que L 0 grâce à la propriété d’invariance de l’indice par
homotopie (et à la construction des matrices diagonales limites). Ce sont la
proposition 8.8.2 et le lemme 8.8.3.
Le tout est schématisé sur la figure 7, qui représente les diverses applications S(s, t) apparaissant dans les opérateurs L, L 0 et L 1 , dans l’espace
des matrices : le « cylindre » le plus extérieur est S(s, t) (l’original), le cylindre en gras est
S(s, t) (on a approché S à l’infini par les authentiques
cylindres), le trait pointillé, constitué de matrices diagonales, représente la
matrice S(s) (celle de L 1 ).
8.8.a. L’indice de Fredholm. Considérons donc l’opérateur
L : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
Y −→
∂Y
∂s
+ J
∂Y
∂t
+ S(s, t)Y.
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lui aussi aux hypothèses de la proposition 8.7.4, ce qui lui vaut de satisfaire
aussi à sa conclusion, à savoir que son noyau est de dimension finie.
Montrons que Coker L est de dimension finie. Le théorème de HahnBanach permet de trouver des formes linéaires ϕ : L
p
→ R qui s’annulent
sur Im L, et nous voulons démontrer que l’espace de ces formes est de dimension finie. Le théorème de représentation de Riesz permet d’écrire une
forme linéaire
ϕ = ϕ U pour un U ∈ L
q , avec ϕ U (V ) = U, V .
Comme ces formes sont nulles sur Im L, les U qui les représentent sont
dans F . Mais celui-ci est de dimension finie. Donc Coker L est de dimension
finie. Et la proposition est démontrée.
8.8. Le calcul de l’indice de L
Pour calculer l’indice de L,
L(Y ) =
∂Y
∂s
+ J
∂Y
∂t
+ S(s, t)Y,
avec lim s→±∞ S(s, t) = S ± (t) uniformément en t, nous allons :
(1) Remplacer L par L 0 donné par la même formule... sauf que S(s, t) y
est remplacé par une matrice
S(s, t) qui vaut exactement S − (t) pour s ≤
−σ 0 et S + (t) pour s ≥ σ 0 . L’invariance de l’indice par petites perturbations
(pour σ 0 assez grand) donnera le fait que l’indice de L 0 est le même que
celui de L. C’est le lemme 8.8.4 ci-dessous.
(2) Remplacer L 0 par L 1 , toujours donné par la même formule, mais dans
laquelle
S(s, t) sera remplacé par une matrice diagonale S(s) (ne dépendant
pas de t) et qui sera constante pour s ≤ −σ 0 et s ≥ σ 0 . Cette fois, L 1
aura le même indice que L 0 grâce à la propriété d’invariance de l’indice par
homotopie (et à la construction des matrices diagonales limites). Ce sont la
proposition 8.8.2 et le lemme 8.8.3.
Le tout est schématisé sur la figure 7, qui représente les diverses applications S(s, t) apparaissant dans les opérateurs L, L 0 et L 1 , dans l’espace
des matrices : le « cylindre » le plus extérieur est S(s, t) (l’original), le cylindre en gras est
S(s, t) (on a approché S à l’infini par les authentiques
cylindres), le trait pointillé, constitué de matrices diagonales, représente la
matrice S(s) (celle de L 1 ).
8.8.a. L’indice de Fredholm. Considérons donc l’opérateur
L : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
Y −→
∂Y
∂s
+ J
∂Y
∂t
+ S(s, t)Y.