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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
On étudie indépendamment Y pour |s| grand, puis petit. Pour ceci, on
choisit une fonction C
∞ positive, β : [0, 1] → R nulle pour |s| ≥ M et égale
à 1 pour |s| ≤ M − 1 et on écrit
Y (s, t) = β(s)Y (s, t) + (1 − β(s))Y (s, t)
et bien sûr
Y W 1,p ≤ ≤βY W 1,p + (1 − β)Y W 1,p .
L’inégalité du lemme 8.7.2 donne
Y W 1,p ≤ C 1 (L(βY ) L p + βY L p + L((1 − β)Y ) L p + (1 − β)Y L p ) .
Si M est choisi assez grand,
C 1 (1 − β)Y L p ≤
1
2
Y L p ≤
1
2
Y W 1,p ,
donc
Y W 1,p ≤ 2C 1 (L(βY ) L p + βY L p + L((1 − β)Y ) L p ) .
Comme β ne dépend que de s, on a
L(βY ) =
∂
∂s
+ J
∂
∂t
+ S
(βY ) = βL(Y ) + β
(s)Y.
La dérivée β
(s) est bornée,
|β
(s)| ≤ K pour s ∈ [−M, M ] et β
(s) = 0 pour |s| ≥ M.
On a donc
L(βY ) L p ≤ ≤L(Y ) L p + K Y L p [−M,M ]
(et de même pour L((1 − β)Y )), de sorte que l’inégalité ci-dessus donne
Y W 1,p ≤ C 2
Y L p [−M,M ] + L(Y ) L p
.
La restriction au compact [−M, M ] définit, grâce au théorème de Rellich
(ici le théorème 16.4.10), un opérateur compact
W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p ([−M, M ] × S
1 ; R
2n ).
On utilise alors la proposition 8.7.4 pour déduire que L a un noyau de
dimension finie et une image fermée.
On utilise toujours le réel q tel que 1/p + 1/q = 1. Considérons le sousespace F de L
q (R × S
1 ) formé des Z qui vérifient Im L, Z = 0 et l’adjoint
L
= −
∂
∂s
+ J 0
∂
∂t
+
t
S : W
1,q (R × S
1 ) −→ L
q (R × S
1 ).
À nouveau, comme dans la démonstration du lemme 8.5.2, L
Z = 0 au sens
des distributions, donc Z ∈ W
1,q (R × S
1 ) par la régularité elliptique. Par
suite, F ⊂ Ker L
. Par ailleurs, L
ayant la même forme que L, il satisfait