8.7. LA PROPRIÉTÉ DE FREDHOLM
255
On en déduit
∂Y
∂t
L p
=
sup
X∈W
1,q
D
X L q =1
D
X,
∂
∂t
Y
=
sup
X∈W
1,q
D
X L q =1
∂
∂t
D
X, Y
=
sup
X∈W
1,q
D
X L q =1
D
∂
∂t
X +
∂S
∂t
X, Y
=
sup
X∈W
1,q
D
X L q =1
∂
∂t
X, DY
+
∂S
∂t
X, Y
≤ ≤DY L p sup
X∈W
1,q
D
X L q =1
X W 1,q + C Y L p sup
X∈W
1,q
D
X L q =1
X L q
avec C = sup t∈S 1 ∂S/∂t. Comme précédemment, le premier terme de la
somme est majoré par C DY L p . Et puis, comme nous avons montré que
Y L p ≤ ≤DY L p , le deuxième terme admet une majoration de la même
forme. Finalement, nous avons établi une inégalité
pour tout Y ∈ W
1,p (R × S
1 ), Y W 1,p ≤ C DY L p .
Il s’ensuit que l’opérateur D est donc, dans ce cas aussi, injectif et à image
fermée. Sinon, le théorème de Riesz donnerait en effet un Z ∈ L
q (R × S
1 ),
non nul, et tel que
pour tout Y ∈ W
1,p (R × S
1 ), Z, DY = 0.
Comme dans la démonstration du lemme 8.5.2, on en déduit que D
Z = 0
(toujours au sens des distributions), puis, avec la régularité elliptique, que
Z ∈ W
1,q (R × S
1 ). Donc Z ∈ Ker D
, doit être nul, contrairement à notre
supposition. Ceci termine la démonstration de la proposition.
8.7.c. Démonstration de la proposition 8.7.1. Comme D est bijectif,
son inverse est (d’après le théorème de l’application ouverte de Banach) une
application continue. Donc il existe une constante B > 0 telle que
Y W 1,p ≤ B DY L p .
Par conséquent, comme S(s, t) → S ± (t) pour s → ∞, il existe des constantes
réelles positives M et C telles que, pour tout Y ∈ W
1,p (R × S
1 , W ),
si Y (s, t) = 0 pour |s| ≤ M − 1, alors Y W 1,p ≤ C LY L p .
En effet,
LY − DY L p ≤ sup
|s|≥M
t∈S
1
S(s, t) − S
± (t)
Y L p ≤ ε Y L p ≤ ε Y W 1,p .
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On en déduit
∂Y
∂t
L p
=
sup
X∈W
1,q
D
X L q =1
D
X,
∂
∂t
Y
=
sup
X∈W
1,q
D
X L q =1
∂
∂t
D
X, Y
=
sup
X∈W
1,q
D
X L q =1
D
∂
∂t
X +
∂S
∂t
X, Y
=
sup
X∈W
1,q
D
X L q =1
∂
∂t
X, DY
+
∂S
∂t
X, Y
≤ ≤DY L p sup
X∈W
1,q
D
X L q =1
X W 1,q + C Y L p sup
X∈W
1,q
D
X L q =1
X L q
avec C = sup t∈S 1 ∂S/∂t. Comme précédemment, le premier terme de la
somme est majoré par C DY L p . Et puis, comme nous avons montré que
Y L p ≤ ≤DY L p , le deuxième terme admet une majoration de la même
forme. Finalement, nous avons établi une inégalité
pour tout Y ∈ W
1,p (R × S
1 ), Y W 1,p ≤ C DY L p .
Il s’ensuit que l’opérateur D est donc, dans ce cas aussi, injectif et à image
fermée. Sinon, le théorème de Riesz donnerait en effet un Z ∈ L
q (R × S
1 ),
non nul, et tel que
pour tout Y ∈ W
1,p (R × S
1 ), Z, DY = 0.
Comme dans la démonstration du lemme 8.5.2, on en déduit que D
Z = 0
(toujours au sens des distributions), puis, avec la régularité elliptique, que
Z ∈ W
1,q (R × S
1 ). Donc Z ∈ Ker D
, doit être nul, contrairement à notre
supposition. Ceci termine la démonstration de la proposition.
8.7.c. Démonstration de la proposition 8.7.1. Comme D est bijectif,
son inverse est (d’après le théorème de l’application ouverte de Banach) une
application continue. Donc il existe une constante B > 0 telle que
Y W 1,p ≤ B DY L p .
Par conséquent, comme S(s, t) → S ± (t) pour s → ∞, il existe des constantes
réelles positives M et C telles que, pour tout Y ∈ W
1,p (R × S
1 , W ),
si Y (s, t) = 0 pour |s| ≤ M − 1, alors Y W 1,p ≤ C LY L p .
En effet,
LY − DY L p ≤ sup
|s|≥M
t∈S
1
S(s, t) − S
± (t)
Y L p ≤ ε Y L p ≤ ε Y W 1,p .