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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
et majorons chacun des trois termes de droite. Par le théorème de Riesz
(11) ,
nous avons
Y L p = sup
Z∈L
q
Z L q =1
||Z, Y | .
Comme D
est bijectif, cela donne
Y L p =
sup
X∈W
1,q
D
X L q =1
||D
X, Y | =
sup
X∈W
1,q
D
X L q =1
||X, DY |
≤ ≤DY L p
sup
X∈W
1,q
D
X L q =1
X L q .
Comme dans la démonstration de la proposition précédente, on a
X L q ≤ ≤X W 1,q ≤ C D
X L q ,
d’où l’on déduit
Y L p ≤ C DY L p .
On procède à l’identique pour la dérivée par rapport à s, en utilisant le fait
que
D
∂
∂s
=
∂
∂s
D
(ici l’application de cet opérateur à un élément de W
1,q est à prendre au
sens des distributions). On a
∂Y
∂s
L p
=
sup
X∈W
1,q
D
X L q =1
D
X,
∂
∂s
Y
=
sup
X∈W
1,q
D
X L q =1
∂
∂s
D
X, Y
=
sup
X∈W
1,q
D
X L q =1
D
∂
∂s
X, Y
=
sup
X∈W
1,q
D
X L q =1
∂
∂s
X, DY
≤ ≤DY L p sup
X∈W
1,q
D
X L q =1
∂X
∂s
L q
≤ C DY L p
puisque
X W 1,q ≤ C D
X L q
comme plus haut. Pour la dérivée par rapport à t, remarquons que, pour
X ∈ W
1,q , on a (les dérivées sont toujours prises au sens des distributions)
∂
∂t
D
X = D
∂
∂t
X +
∂
∂t
S · X.
(11) Au besoin, [13, Th. IV.11].