8.7. LA PROPRIÉTÉ DE FREDHOLM
253
du lemme précédent vaut pour tout Y ∈ W
1,p (R × S
1 ) ∩ W
1,2 (R × S
1 )
et, en particulier, pour tout Y ∈ C
∞
0 (R × S
1 ). Comme les fonctions C
∞
à support compact sont denses
(10) dans W
1,p , l’inégalité reste vraie pour
Y ∈ W
1,p (R × S
1 ) (tout entier). Donc D est injectif. De plus, puisque W
1,p
est complet, son image est fermée.
Pour démontrer que D est aussi surjectif, il suffit ainsi d’établir que son
image est dense dans L
p (R × S
1 ). Soit donc Z ∈ L
p (R × S
1 ) ∩ L
2 (R × S
1 ).
Notons que cet espace, parce qu’il contient les fonctions caractéristiques,
est dense dans L
p (R × S
1 ). La surjectivité de D dans le cas où p = 2,
établie précédemment, fournit un Y ∈ W
1,2 (R × S
1 ) tel que DY = Z.
Grâce à ce qui précède, cet Y est dans W
1,p (R × S
1 ), ce qui démontre notre
proposition.
Pour terminer de démontrer la proposition 8.7.3, il reste à démontrer :
Proposition 8.7.15. L’opérateur
D : W
1,p (R × S
1 ) −→ L
p (R × S
1 )
est bijectif pour 1 < p < 2.
Démonstration. Montrons, comme dans la proposition précédente, qu’il
existe une constante C > 0 telle que
Y W 1,p (R×S 1 ) ≤ C DY L p (R×S 1 ) .
Pour la même raison de densité que ci-dessus, établir cette égalité pour
Y ∈ C
∞
0 (R × S
1 ) suffit. Nous utilisons l’opérateur adjoint :
D
: W
1,q (R × S
1 ) −→ L
q (R × S
1 )
x −→ −
∂X
∂s
+ J 0
∂X
∂t
+ S · X
où, comme il se doit (mais pas comme ci-dessus), q est défini par
1/p + 1/q = 1, de sorte que q > 2 (et où, rappelons-le, S est symétrique). Comme nous l’avons vu (dans la démonstration du lemme 8.5.2),
nous avons, pour tous X ∈ W
1,q (R × S
1 ) et Y ∈ C
∞
0 (R × S
1 ),
D
X, Y = X, DY .
Les résultats que nous avons démontrés pour D et p > 2 s’appliquent à D
,
qui a la même forme que D, et à q qui est > 2. En particulier, D
est bijectif.
Écrivons maintenant :
Y W 1,p = Y L p +
∂Y
∂s
L p
+
∂Y
∂t
L p
(10) Voir au besoin [13, Cor. IX.8].
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du lemme précédent vaut pour tout Y ∈ W
1,p (R × S
1 ) ∩ W
1,2 (R × S
1 )
et, en particulier, pour tout Y ∈ C
∞
0 (R × S
1 ). Comme les fonctions C
∞
à support compact sont denses
(10) dans W
1,p , l’inégalité reste vraie pour
Y ∈ W
1,p (R × S
1 ) (tout entier). Donc D est injectif. De plus, puisque W
1,p
est complet, son image est fermée.
Pour démontrer que D est aussi surjectif, il suffit ainsi d’établir que son
image est dense dans L
p (R × S
1 ). Soit donc Z ∈ L
p (R × S
1 ) ∩ L
2 (R × S
1 ).
Notons que cet espace, parce qu’il contient les fonctions caractéristiques,
est dense dans L
p (R × S
1 ). La surjectivité de D dans le cas où p = 2,
établie précédemment, fournit un Y ∈ W
1,2 (R × S
1 ) tel que DY = Z.
Grâce à ce qui précède, cet Y est dans W
1,p (R × S
1 ), ce qui démontre notre
proposition.
Pour terminer de démontrer la proposition 8.7.3, il reste à démontrer :
Proposition 8.7.15. L’opérateur
D : W
1,p (R × S
1 ) −→ L
p (R × S
1 )
est bijectif pour 1 < p < 2.
Démonstration. Montrons, comme dans la proposition précédente, qu’il
existe une constante C > 0 telle que
Y W 1,p (R×S 1 ) ≤ C DY L p (R×S 1 ) .
Pour la même raison de densité que ci-dessus, établir cette égalité pour
Y ∈ C
∞
0 (R × S
1 ) suffit. Nous utilisons l’opérateur adjoint :
D
: W
1,q (R × S
1 ) −→ L
q (R × S
1 )
x −→ −
∂X
∂s
+ J 0
∂X
∂t
+ S · X
où, comme il se doit (mais pas comme ci-dessus), q est défini par
1/p + 1/q = 1, de sorte que q > 2 (et où, rappelons-le, S est symétrique). Comme nous l’avons vu (dans la démonstration du lemme 8.5.2),
nous avons, pour tous X ∈ W
1,q (R × S
1 ) et Y ∈ C
∞
0 (R × S
1 ),
D
X, Y = X, DY .
Les résultats que nous avons démontrés pour D et p > 2 s’appliquent à D
,
qui a la même forme que D, et à q qui est > 2. En particulier, D
est bijectif.
Écrivons maintenant :
Y W 1,p = Y L p +
∂Y
∂s
L p
+
∂Y
∂t
L p
(10) Voir au besoin [13, Cor. IX.8].