252
CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
Toujours dans un souci d’allégement, notons Z = DY et simplement
la norme sur H. Ainsi nous avons
QZ L p (R;H) =
R
(QZ)(s)
p ds
1/p
=
R
R
K(s − σ) · Z(σ) dσ
p
ds
1/p
≤
R
R
K(s − σ) · Z(σ) dσ
p
ds
1/p
≤
R
R
e
−δ|s−σ|
Z(σ) dσ
p
ds
1/p
.
Nous avons ici une convolution de f (s) = e
−δ|σ| et g(s) = Z(s). Appliquons lui l’inégalité de Young
(9) , pour trouver
QZ L p (R;H) ≤ C Z L p (R;H) .
Mais, grâce à l’inégalité de Hölder pour L
p (S
1 ) et L
2 (S
1 ), on a
Z L p (R;H) =
R
Y (s, ·)
p
L 2 ds
1/p
≤
R
Y (s, ·)
p
L p ds
1/p
= Z L p (R×S 1 ) .
On conclut que
Y L p (R;H) = QZ L p (R;H) ≤ C Z L p (R×S 1 )
≤ C DY L p (R×S 1 )
et enfin que
Y W 1,p (R×S 1 ) ≤ C 4 DY L p (R×S 1 )
et le lemme est démontré.
De quoi nous déduisons :
Proposition 8.7.14. Pour p > 2, l’opérateur D est bijectif.
Démonstration. L’inégalité
Y W 1,p (R×S 1 ) ≤ C DY L p (R×S 1 )
(9) Voir au besoin [13, Th. IV.30] pour cette inégalité :
f f g L p ≤ ≤f L 1 · ·g L p .