8.7. LA PROPRIÉTÉ DE FREDHOLM
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Démonstration. Commençons par montrer que Y ∈ W
1,p (R×S
1 ). Grâce au
lemme 8.7.12, il suffit de démontrer que Y ∈ W
1,p (K) pour tout compact K,
ce qui est une conséquence du théorème 12.1.2.
Dans la démonstration qui suit, nous aurons besoin de considérer Y
comme une application
Y : R −→ L
2 (S
1 ; R
2n ) = H
et d’utiliser la norme L
p (R; H) correspondante
Y L p (R;H) =
R
Y (s, ·)
p
L 2
1/p
.
En utilisant le lemme précédent et l’inégalité (a + b)
p
≤ 2
p (a
p + b
p ) (un
exercice pour nos lecteurs), on trouve
Y W 1,p ([k,k+1]) ≤ C 1
DY L p ([k−1,k+2]) + Y L 2 ([k−1,k+2])
p
≤ 2
p C 1
DY
p
L p ([k−1,k+2]) + Y L 2 ([k−1,k+2])
.
En appliquant l’inégalité de Hölder (et le nombre q tel que 2/p + 1/q = 1),
on obtient
Y L 2 ([k−1,k+2]) =
k+2
k−1
S 1
Y (s, t)
2 dt ds
p/2
=
k+2
k−1
Y (s, ·)
2
L 2 ds
p/2
≤
3
1/q
k+2
k−1
Y (s, ·)
p
L 2 ds
2/p p/2
= 3
p/2q
k+2
k−1
Y (s, ·)
p
L 2 ds.
Ainsi donc
Y W 1,p ([k,k+1]) ≤ C 2
DY
p
L p ([k−1,k+2]) +
k+2
k−1
Y (s, ·)
p
L 2 ds
et, en sommant sur les k ∈ Z,
Y W 1,p (R×S 1 ) ≤ C 3
DY
p
L p (R×S 1 ) + Y
p
L p (R,H)
.
Nous voulons maintenant majorer le dernier terme de cette somme. Nous
utilisons l’inverse
Q : L
2 (R × S
1 ) −→ W
1,2 (R × S
1 )
de D que nous avons défini au § 8.7.a. Comme nous avons supposé que
Y ∈ W
1,2 (R × S
1 ), nous avons
Y L p (R;H) = QDY L p (R;H) .