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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
Supposons maintenant et dans ce qui suit que p > 2. Nous démontrons
un nouveau lemme, qui est conséquence du précédent.
Lemme 8.7.12. Soit p > 2. Il existe une constante C 1 > 0 telle que, pour
tout k ∈ R et pour tout Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), on ait
Y W 1,p ([k,k+1]×S 1 ) ≤ C 1
DY L p ([k−1,k+2]×S 1 ) + Y L 2 ([k−1,k+2]×S 1
.
Démonstration. Grâce à l’invariance de D, il suffit comme ci-dessus de démontrer le résultat pour k = 0. Comme maintenant p > 2, nous avons, grâce
à l’inégalité de Hölder,
L
p ([−1, 2] × S
1 ) ⊂ L
2 ([−1, 2] × S
1 ),
avec, pour q défini par 2/p + 1/q = 1,
Y L 2 ≤ 3
1/2q
Y L p .
De même
W
1,p ([−1, 2] × S
1 ) ⊂ W
1,2 ([−1, 2] × S
1 ), avec Y W 1,2 ≤ 3
1/2q
Y W 1,p .
La même chose vaut aussi pour l’intervalle [−1/2, 3/2], en remplaçant 3
1/2q
par 2
1/2q . Enfin, le théorème de Rellich 16.4.10 donne
W
1,2 ([−1/2, 3/2]×S
1 ) ⊂ L
p ([−1/2, 3/2]×S
1 ), avec Y L p ≤ C Y W 1,2 .
Le lemme précédent donne alors (nous omettons le facteur S
1 pour alléger
les notations) :
Y W 1,p ([0,1]) ≤ C 1
DY L p ([−1/2,3/2]) + Y L p ([−1/2,3/2])
≤ C 2
DY L p ([−1/2,3/2]) + Y W 1,2 ([−1/2,3/2])
≤ C 3
DY L p ([−1/2,3/2]) + DY L 2 ([−1,2]) + Y L 2 ([−1,2])
d’après le lemme précédent avec p = 2, k = −1/2, puis k = 1/2
≤ C 4
DY L p ([−1,2]) + Y L 2 ([−1,2])
.
Ce qui achève la démonstration (de ce lemme)...
... et nous amène à un autre lemme :
Lemme 8.7.13. Soit p > 2. Il existe une constante C > 0 telle que, si Y ∈
W
1,2 (R × S
1 ) et DY ∈ L
p (R × S
1 ), alors
Y ∈ W
1,p (R × S
1 ) et Y W 1,p ≤ C DY L p .