8.7. LA PROPRIÉTÉ DE FREDHOLM
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Évaluons Q · (AY ). On a
Q · (AY ) =
s
−∞
e
−A
+ (s−σ) A
+ Y
+ (σ) dσ −
+∞
s
e
A
− (σ−s) A
− Y
− (σ) dσ.
Le premier terme de la somme vaut
s
−∞
A
+ e
−A
+ (s−σ) Y
+ (σ) dσ =
s
−∞
−
∂
∂s
e
−A
+ (s−σ) Y
+ (σ)
dσ
= −
∂
∂s
s
−∞
e
−A
+ (s−σ) Y
+ (σ) dσ + Y
+ (s)
= −
∂
∂s
0
−∞
e
−A
+ (−σ) Y
+ (s + σ) dσ + Y
+ (s)
= −
0
−∞
e
−A
+ (−σ) ∂Y
+
∂s
(s + σ) dσ + Y
+ (s).
De manière analogue, le deuxième terme vaut
−
+∞
s
A
− e
A
− (σ−s)) Y
− (σ) dσ =
+∞
0
e
A
− (−σ) ∂Y
−
∂s
(s + σ) dσ + Y
− (s).
En ajoutant les deux, on obtient
Q(AY ) = −Q
∂Y
∂s
+ Y,
autrement dit, Q ◦ D(Y ) = Y , de sorte que Q est bien un inverse pour D.
Ceci termine la démonstration de la proposition 8.7.3 pour p = 2.
8.7.b. Démonstration de la proposition 8.7.3 dans le cas général
où p > 1. Nous utilisons une version renforcée de l’inégalité de CalderónZygmund (notre énoncé 8.7.2) pour l’opérateur D = ∂ + S(t) :
Lemme 8.7.11. Soit p > 1. Il existe une constante C > 0 telle que, pour tout
k ∈ R et pour tout Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), on ait
Y W 1,p ([k,k+1]×S 1 ) ≤ C
DY L p ([k−
1
2 ,k+
3
2 ]×S 1 ) + Y L p ([k−
1
2 ,k+
3
2 ]×S 1
.
Remarquons que, en ajoutant les inégalités données par ce lemme pour
k ∈ Z, on obtient précisément 8.7.2 : cet énoncé est, en effet, plus fort.
Démonstration. Fixons k = 0. L’inégalité est une conséquence immédiate
du théorème 12.1.2. Appliquons ensuite le résultat à
Z(s, t) = Y (s − k, t).
L’opérateur D est invariant sous les translations en s, donc
DZ(s, t) = (DY )(s − k, t).
On obtient donc bien le résultat, pour tout k (et avec la même constante
C > 0).