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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
Par conséquent, Q·Z est dans L
2 (R ×S
1 ; R
2n ). Pour montrer qu’il est dans
W
1,2 (R × S
1 ; R
2n ), il suffit d’établir, pour Y = Q · Z, l’égalité
Z =
dY
ds
+ A · Y.
Pour ceci, remarquons, en omettant la variable t dans l’écriture, que
(Q · Z)(s) =
R
K(s − σ)Z(σ) dσ
=
s
−∞
e
−A
+ (s−σ) Z
+ (σ) dσ −
+∞
s
e
A
− (σ−s) dσ
(où Z
± désignent les projections sur H
± ). Écrivons
Y = Q · Z = Y
+ + Y
− ,
de sorte que
dY
+
ds
=
d
ds
s
−∞
e
−A
+ (s−σ) Z
+ (σ) dσ
= e
−A
+ ·0 +
s
−∞
d
ds
e
−A
+ (s−σ) Z
+ (σ) dσ
= Z
+ (s) +
s
−∞
−A
+ e
−A
+ (s−σ) Z
+ (σ) dσ
= Z
+ (s) − A
+ Y
+ (s).
Le calcul analogue pour Y
− donne
dY
±
ds
+ A
± Y
± = Z
± ,
de sorte que
Z =
dY
ds
+ AY.
Cette relation montre que D ◦ Q = Id. Montrons aussi que Q ◦ D = Id.
Soit Y ∈ W
1,2 (R × S
1 ; R
2n ), que l’on décompose en Y = Y
+ + Y
− , et ainsi
AY = A
+ Y
+ + A
− Y
− .
Remarquons que, pour B = A
± , les deux expressions
B · e
Bs Y 0 et e
Bs
· BY 0
sont solutions de
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
∂Y
∂s
= BY
Y (0) = B · Y 0 .
Elles sont donc égales (grâce à la propriété d’unicité contenue dans le théorème 8.7.9). Nous utilisons cette propriété de commutation dans le calcul
ci-dessous.