8.9. LA DÉCROISSANCE EXPONENTIELLE
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En utilisant le lemme, pour r ≤ η,
c = w(z ) ≤
4ac
8
r
2 +
1
πr 2
Bη(z)
w
≤
ac
2
r
2 +
1
πr 2
B1(s0,t0)
w.
Pour finir (c’est notre troisième et dernière étape), posons
r =
η
√ a
< η
et utilisons la dernière inégalité obtenue :
c ≤
ac
2
η
2
a
+
a
πη 2
B1(s0,t0)
w
≤
c
2
+
a
πη 2
B1(s0,t0)
w car η < 1.
Donc
c
2
≤
a
πη 2
B1(s0,t0)
w ou cη
2
≤
2a
π
B1(s0,t0)
w.
Nous en déduisons :
w(s 0 , t 0 ) = f (0) ≤ f (ρ ) = (1 − ρ )
2 c
= 4η
2 c ≤
8a
π
B1(s0,t0)
w,
ce qui est bien la conclusion attendue.