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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
borné. Si Y ∈ W
1,2 (S
1 ) est dans l’espace propre correspondant à la valeur
propre λ de T , on a
AY =
1
λ
Y.
Ainsi, les opérateurs A
+ et −A
− sont bien des opérateurs monotones (chacun d’eux vérifie Bx, x ≥ 0)
A
± : H
±
−→ H
± .
Ces opérateurs vérifient l’étonnant résultat d’existence de solutions (théorie
de Hille-Yoshida) :
Théorème 8.7.9. Soit A : D(A) ⊂ H → H un opérateur fermé monotone
autoadjoint défini sur un ouvert dense D(A). Alors, pour tout Y 0 dans H,
il existe une application Y : [0, +∞[ → H, continue, dérivable sur ]0, +∞[,
avec Y (]0, +∞[) ⊂ D(A) et qui vérifie
⎧
⎨
⎩
∂Y
∂s
= −AY
Y (0) = Y 0 .
De plus, Y , avec ces propriétés, est unique et l’on a :
Y (s) ≤ ≤Y 0 et ∀ s > 0,
∂Y
∂s
(s)
= AY (s) ≤
1
s
Y 0 .
Remarques 8.7.10. Si nous avons qualifié ce résultat d’étonnant, c’est pour
les raisons suivantes :
(1) Ce n’est pas un résultat d’existence locale de solution d’équation
différentielle : rien n’est affirmé au voisinage de 0.
(2) La condition initiale n’est pas supposée dans l’espace de définition
de A (il est vrai que celui-ci est dense dans H en vertu de la remarque
précédente).
(3) C’est quand même un résultat global, comme dans le cas d’une équation différentielle ordinaire linéaire, au sens où il donne des solutions sur
tout [0, +∞[.
(4) Dans le même ordre d’idées, dès que s > 0 est fixé, l’application Y 0 →
Y (s) est linéaire (par unicité de la solution), définissant une application
linéaire continue de H dans D(A). Appelons-la Γ(s). On a, par l’unicité
encore,
Γ(s 1 + s 2 ) = Γ(s 1 ) · Γ(s 2 )
et, puisque Y (0) = Y 0 , Γ(0) = Id. On dit que Γ est un semi-flot (ou un
semi-groupe)... et on utilise la notation Γ(s) = e
−As .
CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
borné. Si Y ∈ W
1,2 (S
1 ) est dans l’espace propre correspondant à la valeur
propre λ de T , on a
AY =
1
λ
Y.
Ainsi, les opérateurs A
+ et −A
− sont bien des opérateurs monotones (chacun d’eux vérifie Bx, x ≥ 0)
A
± : H
±
−→ H
± .
Ces opérateurs vérifient l’étonnant résultat d’existence de solutions (théorie
de Hille-Yoshida) :
Théorème 8.7.9. Soit A : D(A) ⊂ H → H un opérateur fermé monotone
autoadjoint défini sur un ouvert dense D(A). Alors, pour tout Y 0 dans H,
il existe une application Y : [0, +∞[ → H, continue, dérivable sur ]0, +∞[,
avec Y (]0, +∞[) ⊂ D(A) et qui vérifie
⎧
⎨
⎩
∂Y
∂s
= −AY
Y (0) = Y 0 .
De plus, Y , avec ces propriétés, est unique et l’on a :
Y (s) ≤ ≤Y 0 et ∀ s > 0,
∂Y
∂s
(s)
= AY (s) ≤
1
s
Y 0 .
Remarques 8.7.10. Si nous avons qualifié ce résultat d’étonnant, c’est pour
les raisons suivantes :
(1) Ce n’est pas un résultat d’existence locale de solution d’équation
différentielle : rien n’est affirmé au voisinage de 0.
(2) La condition initiale n’est pas supposée dans l’espace de définition
de A (il est vrai que celui-ci est dense dans H en vertu de la remarque
précédente).
(3) C’est quand même un résultat global, comme dans le cas d’une équation différentielle ordinaire linéaire, au sens où il donne des solutions sur
tout [0, +∞[.
(4) Dans le même ordre d’idées, dès que s > 0 est fixé, l’application Y 0 →
Y (s) est linéaire (par unicité de la solution), définissant une application
linéaire continue de H dans D(A). Appelons-la Γ(s). On a, par l’unicité
encore,
Γ(s 1 + s 2 ) = Γ(s 1 ) · Γ(s 2 )
et, puisque Y (0) = Y 0 , Γ(0) = Id. On dit que Γ est un semi-flot (ou un
semi-groupe)... et on utilise la notation Γ(s) = e
−As .