8.7. LA PROPRIÉTÉ DE FREDHOLM
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L’application A n’est pas définie sur H, mais sur son sous-espace W
1,2 (S
1 ),
elle est ce que l’on appelle un opérateur non borné, tout simplement parce
qu’elle est continue pour la norme de W
1,2 mais peut-être pas pour la
norme L
2 sur ce sous-espace. Notons aussi que le domaine de définition
de A est dense dans H = L
2 (S
1 ) (puisque C
∞ (S
1 ) ⊂ W
1,2 (S
1 ) l’est) et
que A est un opérateur fermé (c’est-à-dire que son graphe
(Y, AY ) | Y ∈ W
1,2 (S
1 )
est fermé dans L
2 (S
1 ) × L
2 (S
1 ), un exercice facile pour nos lecteurs).
Le calcul fait pour L dans la démonstration du lemme 8.5.2 donne le fait
que A est auto-adjoint, précisément que, pour le produit L
2 , on a
AX, Y = X, AY pour X, Y ∈ W
1,2 (S
1 ).
Considérons maintenant l’opérateur T : H → H défini par la composition
L
2 (S
1 )
A
−1
−−−−→ W
1,2 (S
1 )
i
− − → L
2 (S
1 ).
C’est un opérateur continu (car A
−1 l’est, grâce au théorème de Banach [13,
Th. 2.5]) et même compact, puisque l’inclusion est compacte. De plus, il est
auto-adjoint, ce qui se déduit facilement de la propriété similaire de A. On
peut donc lui appliquer le résultat (qui est [13, Th. VI.11]) :
Théorème 8.7.8. Soit H un espace de Hilbert séparable et soit T : H → H
un opérateur auto-adjoint compact. Alors H admet une base hilbertienne
formée de vecteurs propres de T .
Rappelons que l’ensemble des valeurs propres de l’opérateur A,
{λ ∈ C | A − λ Id n’est pas injectif} ,
est contenu dans le spectre de A qui est, lui, formé des λ pour lesquels
A − λ Id n’est pas bijectif. Pour un opérateur compact, l’ensemble des valeurs propres est soit fini soit formé d’une suite qui tend vers 0 (voir [13,
Th. VI.8]). Remarquons que, dans le cas qui nous occupe, 0 ne fait pas partie des valeurs propres puisque A
−1 est injectif. Remarquons aussi que les
vecteurs propres de T sont dans W
1,2 (S
1 ; R
2n ) puisque T v = λv implique
que
λv = A
−1 v ∈ W
1,2 (S
1 ; R
2n ).
On peut décomposer
H = H
+
⊕ H
−
(en somme de sous-espaces propres de T , positif et négatif respectivement)
et considérer les deux projections orthogonales p
± : H → H
± . On appelle
A
± la restriction de A à H
± . Chacun d’eux est encore un opérateur non
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L’application A n’est pas définie sur H, mais sur son sous-espace W
1,2 (S
1 ),
elle est ce que l’on appelle un opérateur non borné, tout simplement parce
qu’elle est continue pour la norme de W
1,2 mais peut-être pas pour la
norme L
2 sur ce sous-espace. Notons aussi que le domaine de définition
de A est dense dans H = L
2 (S
1 ) (puisque C
∞ (S
1 ) ⊂ W
1,2 (S
1 ) l’est) et
que A est un opérateur fermé (c’est-à-dire que son graphe
(Y, AY ) | Y ∈ W
1,2 (S
1 )
est fermé dans L
2 (S
1 ) × L
2 (S
1 ), un exercice facile pour nos lecteurs).
Le calcul fait pour L dans la démonstration du lemme 8.5.2 donne le fait
que A est auto-adjoint, précisément que, pour le produit L
2 , on a
AX, Y = X, AY pour X, Y ∈ W
1,2 (S
1 ).
Considérons maintenant l’opérateur T : H → H défini par la composition
L
2 (S
1 )
A
−1
−−−−→ W
1,2 (S
1 )
i
− − → L
2 (S
1 ).
C’est un opérateur continu (car A
−1 l’est, grâce au théorème de Banach [13,
Th. 2.5]) et même compact, puisque l’inclusion est compacte. De plus, il est
auto-adjoint, ce qui se déduit facilement de la propriété similaire de A. On
peut donc lui appliquer le résultat (qui est [13, Th. VI.11]) :
Théorème 8.7.8. Soit H un espace de Hilbert séparable et soit T : H → H
un opérateur auto-adjoint compact. Alors H admet une base hilbertienne
formée de vecteurs propres de T .
Rappelons que l’ensemble des valeurs propres de l’opérateur A,
{λ ∈ C | A − λ Id n’est pas injectif} ,
est contenu dans le spectre de A qui est, lui, formé des λ pour lesquels
A − λ Id n’est pas bijectif. Pour un opérateur compact, l’ensemble des valeurs propres est soit fini soit formé d’une suite qui tend vers 0 (voir [13,
Th. VI.8]). Remarquons que, dans le cas qui nous occupe, 0 ne fait pas partie des valeurs propres puisque A
−1 est injectif. Remarquons aussi que les
vecteurs propres de T sont dans W
1,2 (S
1 ; R
2n ) puisque T v = λv implique
que
λv = A
−1 v ∈ W
1,2 (S
1 ; R
2n ).
On peut décomposer
H = H
+
⊕ H
−
(en somme de sous-espaces propres de T , positif et négatif respectivement)
et considérer les deux projections orthogonales p
± : H → H
± . On appelle
A
± la restriction de A à H
± . Chacun d’eux est encore un opérateur non