244
CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
c’est-à-dire
(R(1) − Id)Y 0 (0) = R(1)
1
0
R
−1 (τ )J 0 Z(τ )dτ.
Une équation qui se résout sans mal puisque l’opérateur Id −R(1) a été
supposé inversible, donnant une unique valeur de Y 0 (0). On a bien montré
que A est bijectif.
Remarque 8.7.7. Dans cette démonstration, on a pu raisonner avec les valeurs
en 0 et 1 des éléments de W
1,2 parce que
W
1,2 ([0, 1]; R
2n ) ⊂ C
0 ([0, 1]; R
2n ).
Comme nous l’avons déjà signalé, l’inclusion analogue n’est pas vraie lorsque
l’espace de départ est de dimension ≥ 2. Voir les rappels d’analyse et en
particulier la remarque 16.4.7.
Suite de la démonstration de la proposition 8.7.3 dans le cas p = 2. Nous
cherchons, pour Z ∈ L
2 (R × S
1 ; R
2n ), un Y ∈ W
1,2 (R × S
1 ; R
2n ) tel que
∂Y
∂s
+ J 0
∂Y
∂t
+ S(t)Y = Z.
Autrement dit, nous voulons résoudre l’« équation différentielle linéaire avec
second membre »
∂Y
∂s
= −A · Y (s) + Z(s)
dans W
1,2 (R×S
1 ; R
2n ). Malheureusement, en dimension infinie, on ne peut
appliquer la méthode de variation des constantes comme celle que nous
venons d’utiliser pour montrer que A est inversible. Ainsi, de l’équation
homogène
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
∂Y
∂s
= −AY
Y (0) = Y 0
nous savons qu’elle admet des solutions définies seulement sur [0, +∞], et
ceci uniquement quand l’opérateur A est monotone, c’est-à-dire vérifie
∀ x, Ax, x ≥ 0
(pour le produit L
2 , voir [13, Chap. VII] et le théorème 8.7.9 ci-dessous).
Comme notre A n’est pas monotone, avant de pouvoir appliquer ce résultat,
nous devrons donc décomposer L
2 (S
1 ; R
2n ) en une somme directe d’espaces
sur lesquels cette propriété de monotonie est réalisée.
Pour simplifier, notons H cet espace de Hilbert
H = L
2 (S
1 ; R
2n ).