8.7. LA PROPRIÉTÉ DE FREDHOLM
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8.7.a. Démonstration de la proposition 8.7.3, première étape, le
cas p = 2. On considère l’opérateur
A = J 0
∂
∂t
+ S : W
1,2 (S
1 ; R
2n ) −→ L
2 (S
1 ; R
2n )
opérant sur les fonctions de t.
Lemme 8.7.5. Sous l’hypothèse de non-dégénérescence, l’opérateur A est inversible.
Remarque 8.7.6. Remarquons d’abord que A est l’opérateur linéaire considéré dans la remarque 8.4.7, celui que l’on obtient en linéarisant l’équation
différentielle ˙
x = X t (x) (voir les §§ 14.4.c et en particulier 14.4.d).
Démonstration du lemme 8.7.5. C’est une application de la méthode de la
variation des constantes. Inverser l’opérateur revient à résoudre, pour Z ∈
L
2 (S
1 ; R
2n ), l’équation différentielle linéaire (avec second membre)
˙
Y = J 0 SY − J 0 Z, avec Y ∈ W
1,2 (S
1 ; R
2n ).
Dans le cas où Z = 0, les solutions sont
Y (t) = R(t)Y 0 , t ∈ R
où R est la solution fondamentale, matrice vérifiant
˙
R = J 0 SR et R(0) = Id
(c’est la matrice dont nous avons supposé qu’elle n’avait pas la valeur
propre 1 pour t = 1). Pour résoudre l’équation en général, on cherche une
solution sous la forme
Y (t) = R(t)Y 0 (t), t ∈ [0, 1].
Un tel Y vérifie l’équation différentielle si et seulement si
˙
Y 0 (t) = −R
−1 (t)J 0 Z(t).
On doit donc avoir
Y 0 (t) = Y 0 (0) −
t
0
R
−1 (τ )J 0 Z(τ )dτ
et enfin
Y (t) = R(t)
Y 0 (0) −
t
0
R
−1 (τ )J 0 Z(τ )dτ
.
On veut que Y soit prolongeable en une fonction périodique, c’est-à-dire
que Y (0) = Y (1), ou encore que
R(1)
−
1
0
R
−1 (τ )J 0 Z(τ )dτ + Y 0 (0)
= Y 0 (0),