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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
...et une conséquence de l’inégalité de Calderón-Zygmund (le théorème 16.5.8) énoncée dans le lemme :
Lemme 8.7.2. Soit p > 1. Si Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), il existe une constante
positive C telle que
Y W 1,p ≤ C(LY L p + Y L p ).
Voici le plan de la démonstration : tout d’abord, nous considérons le cas
où S(s, t) ne dépend pas de s, cas dans lequel nous démontrons un résultat
plus fort :
Proposition 8.7.3. Si l’opérateur symétrique S(s, t) = S(t) est indépendant
de s et si d´ et(Id −R
±
1 ) = 0, alors
D = ∂ + S(t) : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
est bijectif (pour tout p > 1).
Nous démontrons cette proposition d’abord dans le cas p = 2 au § 8.7.a,
puis dans le cas général au § 8.7.b. L’inversibilité de l’opérateur « asymptotique » D nous permettra d’améliorer l’inégalité du lemme 8.7.2 en
Y W 1,p (R×S 1 ;R 2n ) ≤ C(Y L p (R×S 1 ) + Y L p ([−M,M ]×S 1 ) )
(pour un M > 0 assez grand).
La restriction W
1,p (R × S
1 ) → L
p ([−M, M ] × S
1 ) étant un opérateur
compact (par le théorème de Rellich, ici le théorème 16.4.10), nous pourrons alors utiliser un résultat général dit « semi-Fredholm » (pour lequel on
trouvera une démonstration au § 16.2.c).
Proposition 8.7.4. Soient E, F et G trois espaces de Banach. Soient L :
E → F un opérateur et K : E → G un opérateur compact. On suppose qu’il
existe une constante C > 0 telle que
∀ x ∈ E, x E ≤ C (L(x) F + K(x) G ) .
Alors le noyau de L est de dimension finie et son image est fermée.
Il restera à montrer que le conoyau de L est de dimension finie. On le
fera en l’identifiant au noyau de l’opérateur adjoint
L
: W
1,q (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
q (R × S
1 ; R
2n )
où q est défini par 1/p + 1/q = 1. Cet opérateur, que nous avons déjà rencontré dans la démonstration du lemme 8.5.1, satisfait aussi aux hypothèses
de la proposition 8.7.4, et son noyau est donc de dimension finie.
CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
...et une conséquence de l’inégalité de Calderón-Zygmund (le théorème 16.5.8) énoncée dans le lemme :
Lemme 8.7.2. Soit p > 1. Si Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), il existe une constante
positive C telle que
Y W 1,p ≤ C(LY L p + Y L p ).
Voici le plan de la démonstration : tout d’abord, nous considérons le cas
où S(s, t) ne dépend pas de s, cas dans lequel nous démontrons un résultat
plus fort :
Proposition 8.7.3. Si l’opérateur symétrique S(s, t) = S(t) est indépendant
de s et si d´ et(Id −R
±
1 ) = 0, alors
D = ∂ + S(t) : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
est bijectif (pour tout p > 1).
Nous démontrons cette proposition d’abord dans le cas p = 2 au § 8.7.a,
puis dans le cas général au § 8.7.b. L’inversibilité de l’opérateur « asymptotique » D nous permettra d’améliorer l’inégalité du lemme 8.7.2 en
Y W 1,p (R×S 1 ;R 2n ) ≤ C(Y L p (R×S 1 ) + Y L p ([−M,M ]×S 1 ) )
(pour un M > 0 assez grand).
La restriction W
1,p (R × S
1 ) → L
p ([−M, M ] × S
1 ) étant un opérateur
compact (par le théorème de Rellich, ici le théorème 16.4.10), nous pourrons alors utiliser un résultat général dit « semi-Fredholm » (pour lequel on
trouvera une démonstration au § 16.2.c).
Proposition 8.7.4. Soient E, F et G trois espaces de Banach. Soient L :
E → F un opérateur et K : E → G un opérateur compact. On suppose qu’il
existe une constante C > 0 telle que
∀ x ∈ E, x E ≤ C (L(x) F + K(x) G ) .
Alors le noyau de L est de dimension finie et son image est fermée.
Il restera à montrer que le conoyau de L est de dimension finie. On le
fera en l’identifiant au noyau de l’opérateur adjoint
L
: W
1,q (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
q (R × S
1 ; R
2n )
où q est défini par 1/p + 1/q = 1. Cet opérateur, que nous avons déjà rencontré dans la démonstration du lemme 8.5.1, satisfait aussi aux hypothèses
de la proposition 8.7.4, et son noyau est donc de dimension finie.