8.7. LA PROPRIÉTÉ DE FREDHOLM
241
Mais son noyau est formé des constantes nulles, il est donc nul. Par suite, D
est bijectif.
Soit maintenant D δ la petite perturbation de D définie par
D δ (Y ) = (∂Y + S δ · Y dZ, Y (0))
où S δ : C ∪ {∞} → End R (C
n ) est définie, elle, par
S δ (s, t) =
S(s, t) si (s, t) ∈ B δ ,
0
sinon.
Clairement,
lim
δ→0
S δ L p = 0, donc lim
δ→0
D δ − D
op = 0,
donc D δ est elle aussi bijective lorsque δ est assez petit. Un tel δ étant
fixé, choisissons un Y tel que D δ Y = (0, v 0 ). Sa restriction à B δ satisfait
à l’équation de Cauchy-Riemann perturbée et à la « condition initiale »
Y (0) = v 0 , ce qui démontre le lemme...
... et le principe de similitude.
On aurait pu utiliser la même méthode que celle du calcul de l’indice
(que nous déroulerons au § 8.8) : c’est l’objet de l’exercice 45.
8.7. La propriété de Fredholm
Nous attaquons maintenant la démonstration du théorème 8.1.5.
Appelons
S ± (t) = lim
s→±∞
S(s, t)
et R
±
t la solution de
˙
R = J 0 S ± R telle que R
±
0 = Id .
Le but de ce paragraphe est de démontrer :
Proposition 8.7.1. Si d´ et(Id −R
±
1 ) = 0, alors
L = ∂ + S(s, t) : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
est un opérateur de Fredholm (à indice) (pour tout p > 1).
Nous nous inspirons ici de la démonstration de [60] (voir aussi [12]).
L’ingrédient principal est le théorème de régularité elliptique :
Théorème (lemme 12.1.3). Soit p > 1. Si Y ∈ L
p (R × S
1 ; R
2n ) est
une solution faible de l’équation de Floer linéarisée LY = 0, alors
Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) (et il est aussi de classe C
∞ ).
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Mais son noyau est formé des constantes nulles, il est donc nul. Par suite, D
est bijectif.
Soit maintenant D δ la petite perturbation de D définie par
D δ (Y ) = (∂Y + S δ · Y dZ, Y (0))
où S δ : C ∪ {∞} → End R (C
n ) est définie, elle, par
S δ (s, t) =
S(s, t) si (s, t) ∈ B δ ,
0
sinon.
Clairement,
lim
δ→0
S δ L p = 0, donc lim
δ→0
D δ − D
op = 0,
donc D δ est elle aussi bijective lorsque δ est assez petit. Un tel δ étant
fixé, choisissons un Y tel que D δ Y = (0, v 0 ). Sa restriction à B δ satisfait
à l’équation de Cauchy-Riemann perturbée et à la « condition initiale »
Y (0) = v 0 , ce qui démontre le lemme...
... et le principe de similitude.
On aurait pu utiliser la même méthode que celle du calcul de l’indice
(que nous déroulerons au § 8.8) : c’est l’objet de l’exercice 45.
8.7. La propriété de Fredholm
Nous attaquons maintenant la démonstration du théorème 8.1.5.
Appelons
S ± (t) = lim
s→±∞
S(s, t)
et R
±
t la solution de
˙
R = J 0 S ± R telle que R
±
0 = Id .
Le but de ce paragraphe est de démontrer :
Proposition 8.7.1. Si d´ et(Id −R
±
1 ) = 0, alors
L = ∂ + S(s, t) : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
est un opérateur de Fredholm (à indice) (pour tout p > 1).
Nous nous inspirons ici de la démonstration de [60] (voir aussi [12]).
L’ingrédient principal est le théorème de régularité elliptique :
Théorème (lemme 12.1.3). Soit p > 1. Si Y ∈ L
p (R × S
1 ; R
2n ) est
une solution faible de l’équation de Floer linéarisée LY = 0, alors
Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) (et il est aussi de classe C
∞ ).