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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
donc que σ est holomorphe (elle est continue parce que égale à σ = A
−1
· Y ,
et C
∞ en vertu de la régularité elliptique).
Démonstration du lemme 8.6.10. La matrice A recherchée est une sorte de
matrice fondamentale de solutions de notre équation. Il suffit de considérer
l’équation pour le « vecteur » Y ∈ W
1,p (B δ ; R
2n ),
∂Y
∂s
+ J 0
∂Y
∂t
+ S · Y = 0,
et de montrer qu’elle a une solution telle que Y (0, 0) = v 0 , et ceci pour tout
v 0 ∈ R
2n fixé. En utilisant les vecteurs de la base canonique, on obtiendra
les colonnes de la matrice A cherchée.
Pour ce faire, considérons
B δ ⊂ C ⊂ C ∪ {∞} = S
2 .
Si Y est une application de S
2 dans C
n = R
2n , ∂Y est une section du fibré
vectoriel
Λ
0,1 T
S
2
n = Λ
0,1 T
S
2
⊗ C
n , et dire que ∂Y = 0 signifie que Y
est une sphère holomorphe dans C
n .
Nous pouvons maintenant utiliser la propriété essentielle de ∂ rappelée
dans le théorème suivant (qui est une conséquence de l’inégalité de CalderónZygmund, voir le § 16.4).
Théorème 8.6.11. Pour tout p > 1, l’opérateur
∂ : W
1,p (S
2 , V ) −→ L
p (Λ
0,1 T
S
2
⊗ V )
est un opérateur de Fredholm surjectif.
Le calcul qui constitue la démonstration du lemme 6.6.4 montre que
R 2
∂Y
∂t
2
ds dt =
S 2
Y
ω = 0
(en appliquant la formule de Stokes). Ainsi le noyau de ∂ ne contient que les
constantes, sa dimension est donc 2n, et, comme ∂ est surjectif, son indice
est aussi égal à 2n. Considérons maintenant l’opérateur
D : W
1,p (S
2 ; C
n ) −→ L
p (
Λ
0,1 T
S
2
n ) ⊕ C
n
y −→ (∂Y, Y (0)).
Il est somme de
(∂, 0) : W
1,p (S
2 ; C
n ) −→ L
p (
Λ
0,1 T
S
2
n ) ⊕ C
n
qui est de Fredholm et d’indice 0, et de l’opérateur Y → (Y, 0), qui est
compact puisque W
1,p s’injecte continûment dans L
∞ . Grâce au théorème 16.2.10, nous savons qu’il est de Fredholm d’indice 0 lui aussi.
CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
donc que σ est holomorphe (elle est continue parce que égale à σ = A
−1
· Y ,
et C
∞ en vertu de la régularité elliptique).
Démonstration du lemme 8.6.10. La matrice A recherchée est une sorte de
matrice fondamentale de solutions de notre équation. Il suffit de considérer
l’équation pour le « vecteur » Y ∈ W
1,p (B δ ; R
2n ),
∂Y
∂s
+ J 0
∂Y
∂t
+ S · Y = 0,
et de montrer qu’elle a une solution telle que Y (0, 0) = v 0 , et ceci pour tout
v 0 ∈ R
2n fixé. En utilisant les vecteurs de la base canonique, on obtiendra
les colonnes de la matrice A cherchée.
Pour ce faire, considérons
B δ ⊂ C ⊂ C ∪ {∞} = S
2 .
Si Y est une application de S
2 dans C
n = R
2n , ∂Y est une section du fibré
vectoriel
Λ
0,1 T
S
2
n = Λ
0,1 T
S
2
⊗ C
n , et dire que ∂Y = 0 signifie que Y
est une sphère holomorphe dans C
n .
Nous pouvons maintenant utiliser la propriété essentielle de ∂ rappelée
dans le théorème suivant (qui est une conséquence de l’inégalité de CalderónZygmund, voir le § 16.4).
Théorème 8.6.11. Pour tout p > 1, l’opérateur
∂ : W
1,p (S
2 , V ) −→ L
p (Λ
0,1 T
S
2
⊗ V )
est un opérateur de Fredholm surjectif.
Le calcul qui constitue la démonstration du lemme 6.6.4 montre que
R 2
∂Y
∂t
2
ds dt =
S 2
Y
ω = 0
(en appliquant la formule de Stokes). Ainsi le noyau de ∂ ne contient que les
constantes, sa dimension est donc 2n, et, comme ∂ est surjectif, son indice
est aussi égal à 2n. Considérons maintenant l’opérateur
D : W
1,p (S
2 ; C
n ) −→ L
p (
Λ
0,1 T
S
2
n ) ⊕ C
n
y −→ (∂Y, Y (0)).
Il est somme de
(∂, 0) : W
1,p (S
2 ; C
n ) −→ L
p (
Λ
0,1 T
S
2
n ) ⊕ C
n
qui est de Fredholm et d’indice 0, et de l’opérateur Y → (Y, 0), qui est
compact puisque W
1,p s’injecte continûment dans L
∞ . Grâce au théorème 16.2.10, nous savons qu’il est de Fredholm d’indice 0 lui aussi.