8.6. LES SOLUTIONS SONT « INJECTIVES QUELQUE PART »
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ce qui implique en particulier que
S
−
· D ∈ L
p (B ε , End R (R
2n )).
Posons ensuite
S(s, t) = S
+ (s, t) + S
− (s, t) · D(s, t),
définissant ainsi une application C-linéaire,
S,
S ∈ L
p (B ε , End R (R
2n ))
qui satisfait à
S · Y = S
+ Y + S
− DY = S
+ Y + S
− Y = SY,
de sorte que Y est aussi solution de l’équation dans laquelle on remplace S
par
S. On peut ainsi supposer que le S qui apparaît dans notre équation
est C-linéaire. Le résultat recherché est une conséquence du lemme :
Lemme 8.6.10. Il existe δ ∈ ]0, ε] et A ∈ W
1,p (B δ ; End(R
2n )) tels que
∂A
∂s
+ J 0
∂A
∂t
+ S · A = 0
et A(0, 0) = Id.
Dans cet énoncé, le produit S · A est un élément de L
p (B δ ; End(R
2n ))
(grâce au lemme 8.2.4). Admettons (provisoirement !) ce lemme et finissons
la démonstration de 8.6.8. Choisissons un A comme dans le lemme et, s’il
n’est pas C-linéaire, remplaçons-le par
A
+ =
1
2
(A − J 0 AJ 0 ),
qui est solution de la même équation (parce que nous avons supposé que S
est C-linéaire) et qui vérifie aussi A
+ (0, 0) = Id. On peut donc supposer
que A commute avec J 0 . Montrons qu’il satisfait aussi aux autres conditions
annoncées dans 8.6.8. Puisque A(0, 0) = Id, si l’on choisit δ assez petit,
A(s, t) est inversible pour (s, t) ∈ B δ . Posons ensuite
σ = A
−1
· Y, de sorte que Y = A · σ.
Comme Y est solution de l’équation, on a
∂(Aσ)
∂s
+ J 0
∂(Aσ)
∂t
+ S · (Aσ),
soit
∂A
∂s
σ + A
∂σ
∂s
+ J 0
∂A
∂t
σ + J 0 A
∂σ
∂t
+ S · Aσ = 0,
ce qui implique que
A
∂σ
∂s
+ J 0
∂σ
∂t
= 0,