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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
Utilisons maintenant le fait que v 2 aussi est solution, donc que
J
∂v 2
∂t
= −
∂v 2
∂s
et J
∂v 2
∂s
=
∂v 2
∂t
pour obtenir
∂v
∂s
(f, t)
∂f
∂s
− 1
+
∂v
∂t
(f, t)
∂f
∂t
= 0,
une relation linéaire entre les deux vecteurs indépendants ∂v/∂s(f, t) et
∂v/∂t(f, t). Ainsi,
∂f
∂s
= 1 et
∂f
∂t
= 0,
ce qui veut dire que f est de la forme f (s, t) = s + s 0 pour un certain
s 0 ∈ ] − ε, ε[, qui est d’ailleurs nul puisque v(s 0 , 0) = u(0) = v(0) et v est
injective sur B ε (0), donc f (s, t) = s, ce qui veut dire que u et v coïncident
sur le voisinage de 0 où f est définie. Par le principe de prolongement, u
et v doivent coïncider sur tout B ε .
Démonstration du lemme 8.6.8. La dernière des conditions à satisfaire est
que A(s, t) est, pour tous (s, t), une application C-linéaire (c’est-à-dire
qu’elle commute avec la multiplication par i, que nous avons notée J 0 ).
Essayons de remplacer S (dans l’équation de Cauchy-Riemann perturbée)
par une application C-linéaire. Écrivons pour commencer
S
+ =
1
2
(S − J 0 SJ 0 ) et S
− =
1
2
(S + J 0 SJ 0 ),
de sorte que S = S
+ + S
− et que
J 0 S
+ =
1
2
(J 0 S + SJ 0 ) = S
+ J 0 ,
donc S
+ est C-linéaire et, de même, S
− est anti-C-linéaire. Pour (s, t) ∈ B ε ,
définissons D(s, t) ∈ End R (C
n ) par
D(s, t) · Z =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
1
Y (s, t)
2 · (Y (s, t) ·
t Y (s, t)) · Z si Y (s, t) = 0,
0
s i Y (s, t) = 0.
Remarquons que, quand Y (s, t) = 0, on a
D(s, t) · Z =
Y, Z
Y
2 (s, t) · Y (s, t),
où , désigne le produit hermitien usuel sur C
n (voir le § 5.5). En particulier, DY = Y , ceci valant pour tous (s, t). Ensuite, avec son Z, cette
application est clairement anti-C-linéaire. Pour en finir avec les propriétés
de D, on voit que
D(s, t) ≤ 1 pour tous (s, t),