8.6. LES SOLUTIONS SONT « INJECTIVES QUELQUE PART »
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car A
−1 est continue (puisque A ∈ W
1,p (B δ ; GL(R
2n )) est continue). Donc
lim
r→0
sup |z−z0|≤r |σ(z)|
r k
= 0 pour tout k.
Mais σ est analytique, elle est nulle sur B δ (z 0 ), donc B δ (z 0 ) ⊂ C.
Démonstration du lemme 8.6.2. Évidemment, si (dv) 0 = 0, l’assertion à démontrer est claire. Supposons donc que (dv) 0 = 0. L’application v est solution de l’équation
∂v
∂s
+ J
∂v
∂t
= 0.
Alors, comme nous l’avons déjà remarqué (dans la remarque 8.4.8), ∂v/∂s
est solution de l’équation de Cauchy-Riemann linéarisée. On peut donc appliquer le principe de similitude (le lemme 8.6.8) à Y = ∂v/∂s, nous obtenons le fait que
Y (s, t) = A(s, t)σ(s, t)
avec σ holomorphe sur un voisinage de 0. Ce dont le lemme se déduit : les
zéros de σ sont isolés, donc aussi ceux de Y = ∂v/∂s, et donc a fortiori
ceux de dv.
Du principe de prolongement, nous déduirons une démonstration du
lemme 8.6.5 utilisé ci-dessus.
Démonstration du lemme 8.6.5. Choisissons, comme nous y autorise le fait
que (dv 2 ) 0 = 0, un ε > 0 assez petit pour que v 2 : B ε → R
2n plonge B ε
comme une sous-variété Σ = v(B ε ) ⊂ R
2n . En utilisant une projection d’un
voisinage U ε de la sous-variété Σ sur cette sous-variété, nous déduisons une
application ϕ de classe C
∞
ϕ : U ε −→ B ε avec ϕ| Σ = v
−1
2 .
Pour δ assez petit, v 1 (B δ ) ⊂ Σ (par hypothèse), ce dont nous déduisons une
application
ϕ ◦ v 1 : B δ −→ U ε −→ B ε
dont notre hypothèse dit qu’elle est de la forme
ϕ ◦ v 1 (s, t) = (f (s, t), t)
avec f de classe C
∞ , définie sur B δ (0) et à valeurs dans B ε (0). Ainsi, pour
(s, t) ∈ B δ , v 1 (s, t) = v 2 (f (s, t), t). Le fait que v 1 soit solution donne
0 =
∂v 1
∂s
(s, t) + J(t, v 1 )
∂v 1
∂t
(s, t) =
∂v 2
∂s
(f (s, t), t)
∂f
∂s
+ J(t, v 2 (f (s, t), t))
∂v 2
∂s
(f (s, t), t)
∂f
∂t
+
∂v 2
∂t
(f (s, t), t)
.