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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
Par définition de Σ 1 , pour tout (s, t) ∈ B ρ (s , t ), il existe s
∈ B r (s 1 )
tel que v(s, t) = v(s
, t). En particulier, il existe un s
= s avec
v(s , t ) = v(s
, t ).
Définissons sur B ε (0, 0) les deux fonctions v 1 et v 2 par
v 1 (s, t) = v(s + s , t + t )
v 2 (s, t) = v(s + s
, t + t ).
Ces deux fonctions satisfont à la même équation de Cauchy-Riemann et elles
coïncident à l’origine. De plus leurs différentielles en l’origine sont non nulles.
En effet (s , t ) ∈ B ε (s 0 , t 0 ) n’est pas dans C(v) et (s
, t ) est un multiple
de (s , t ), donc il n’est pas dans C(v) non plus, grâce à la propriété (3).
Enfin, par construction, pour tout (s, t) ∈ B ρ (0, 0), il existe s
∈ B 2r (0) tel
que v 1 (s, t) = v 2 (s, t). On applique à ces fonctions le lemme qui suit, qui
est une conséquence du principe de prolongement (et que nous démontrons
ci-dessous).
Lemme 8.6.5. Supposons que v 1 et v 2 soient deux solutions de l’équation
de Cauchy-Riemann avec X t ≡ 0 définies sur B ε (0), qui prennent la même
valeur en 0 et telles que (dv 1 ) 0 et (dv 2 ) 0 ne soient pas nulles. Supposons de
plus que, pour tout ε > 0, il existe un δ > 0 tel que
∀ (s, t) ∈ B δ (0), ∃ s
∈ R tel que (s
, t) ∈ B ε (0) et v 1 (s, t) = v 2 (s
, t).
Alors v 1 (s, t) = v 2 (s, t) pour tout z ∈ B ε (0).
Ainsi v 1 (s, t) = v 2 (s, t), soit v(s + s , t + t ) = v(s + s
, t + t ) sur un
voisinage de 0. Les applications v 1 et v 2 vérifient toutes les deux l’équation
de Cauchy-Riemann
∂w
∂s
+ J
∂w
∂t
= 0.
Appelons F l’opérateur
F : C
∞ (R × S
1 ; R
2n ) −→ C
∞ (R × S
1 ; R
2n )
w −→
∂w
∂s
+ J(w)
∂w
∂t
.
Nous avons donc F(v 1 ) = F(v 2 ). Écrivons
0 = F(v 1 ) − F(v 2 )
=
1
0
d
dτ
F(v 1 + τ (v 2 − v 1 )) dτ
=
1
0
(dF) v1+τ (v2−v1) (v 2 − v 1 ) dτ.