8.6. LES SOLUTIONS SONT « INJECTIVES QUELQUE PART »
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La suite σ
n a un point d’accumulation σ
, qui est différent de s 0 , . . . , s N .
Par ailleurs, v(σ
n , t n ) = v(σ n , t n ), donc v(σ
, t 0 ) = v(t 0 , s 0 ), ce qui est une
contradiction.
Ceci est illustré sur la figure 5, où les points multiples de B δ se trouvent
dans les régions ombrées clair.
−M
M
t 0 − ε
t 0 + ε
s 1
s 2
s 3
B 2δ
Figure 5
Le lemme étant acquis, fixons un r < ε/2, et un δ correspondant. Posons,
pour j = 1, . . . , N,
Σ j =
(s, t) ∈ B δ (s 0 , t 0 ) | v(s, t) ∈ u(B r (s j ) × {t})
.
Les Σ j sont des fermés et, d’après le lemme précédent,
Σ 1 ∪ · · · ∪ Σ N = B δ (s 0 , t 0 ),
donc au moins l’un d’eux est d’intérieur non vide. Nous supposons que
c’est Σ 1 . Pour un point (s , t ) dans l’intérieur de Σ 1 et pour un nombre
réel ρ > 0 assez petit, on a
B ρ (s , t ) ⊂ Σ 1 ⊂ B δ (s 0 , t 0 ) ⊂ B ε (s 0 , t 0 ).
On pouvait ainsi choisir r > 0 assez petit pour que
B r (s i ) ∩ B ε (s 0 ) = ∅ pour tout i = 1, . . . , N,
on a en particulier
B ρ (s , t ) ∩ (B r1 (s 1 ) × B δ (t 0 )) = ∅.
Ceci est illustré sur la figure 6, sur laquelle chaque point de B ρ (s , t ) a
un multiple dans la zone ombrée clair.
B r (s 1 ) × B δ (t 0 )
B ρ (s ,t )
B δ (s 0 ,t 0 )
δ
Figure 6