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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
B ε (s 0 ,t 0 )
(s 0 ,t 0 )
t 0 − ε
t 0 + ε
s = −M
s = M
Figure 3
(3) Comme [−M, M ] × [0, 1] est compact et C(v) discret, leur intersection est finie. Après avoir au besoin modifié un peu le point (s 0 , t 0 ), nous
supposerons que v(s 0 , t 0 ) = v(s, t) pour tous les (s, t) de cet ensemble fini
(ce que l’on peut faire parce que v n’est pas constante sur un voisinage de
(s 0 , t 0 ), puisque (s 0 , t 0 ) n’est pas dans C(v)) et, après avoir rapetissé ε, que
v(B ε (s 0 , t 0 )) ∩ v([−M, M ] × [0, 1] ∩ C(v)) = ∅.
t 0 − ε
t 0 + ε
W
(s 0 ,t 0 )
v
Figure 4
Ceci est schématisé sur la figure 4, où les étoiles sont les points de C(v)
et leurs images). Nous ne considérons donc plus le cas d’un point multiple
qui est aussi un point critique. C’est désormais l’injectivité seule qui est en
cause et, pour tout (s, t) ∈ B ε (s 0 , t 0 ), il existe un s
∈ R tel que s
= s et
u(s, t) = u(s
, t) avec
∂u
∂s
(s
, t) = 0 et |s
| ≤ M, |s
| > ε.
Pour chaque (s, t), l’ensemble des points (s
, t) qui ont la même image est
fini : sinon cet ensemble aurait un point d’accumulation, ce qui impliquerait
que ∂v/∂s = 0. Appelons donc s 1 , . . . , s N ∈ [−M, M ] les points tels que
v(s 0 , t 0 ) = v(s 1 , t 0 ) = · · · = v(s N , t 0 ).
Lemme 8.6.4. Pour tout r > 0, il existe un δ > 0 tel que, si |t − t 0 | < δ et
|s − s 0 | < δ, il existe s
∈ B r (s j ) avec v(s, t) = v(s
, t).
Démonstration du lemme. Si ce n’était pas le cas, il existerait une suite
(σ n , t n ) tendant vers (s 0 , t 0 ) telle que les points multiples (σ, t n ) de (σ n , t n )
ont la propriété que σ /
∈ B r (s j ) pour j = 1, . . . , n. Soit alors (σ
n , t n ) un
point multiple de (σ n , t n ). Nous savons par la propriété (1) ci-dessus que
|σ
n | ≤ M et par la propriété (2) que |σ
n − s 0 | ≥ ε.
CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
B ε (s 0 ,t 0 )
(s 0 ,t 0 )
t 0 − ε
t 0 + ε
s = −M
s = M
Figure 3
(3) Comme [−M, M ] × [0, 1] est compact et C(v) discret, leur intersection est finie. Après avoir au besoin modifié un peu le point (s 0 , t 0 ), nous
supposerons que v(s 0 , t 0 ) = v(s, t) pour tous les (s, t) de cet ensemble fini
(ce que l’on peut faire parce que v n’est pas constante sur un voisinage de
(s 0 , t 0 ), puisque (s 0 , t 0 ) n’est pas dans C(v)) et, après avoir rapetissé ε, que
v(B ε (s 0 , t 0 )) ∩ v([−M, M ] × [0, 1] ∩ C(v)) = ∅.
t 0 − ε
t 0 + ε
W
(s 0 ,t 0 )
v
Figure 4
Ceci est schématisé sur la figure 4, où les étoiles sont les points de C(v)
et leurs images). Nous ne considérons donc plus le cas d’un point multiple
qui est aussi un point critique. C’est désormais l’injectivité seule qui est en
cause et, pour tout (s, t) ∈ B ε (s 0 , t 0 ), il existe un s
∈ R tel que s
= s et
u(s, t) = u(s
, t) avec
∂u
∂s
(s
, t) = 0 et |s
| ≤ M, |s
| > ε.
Pour chaque (s, t), l’ensemble des points (s
, t) qui ont la même image est
fini : sinon cet ensemble aurait un point d’accumulation, ce qui impliquerait
que ∂v/∂s = 0. Appelons donc s 1 , . . . , s N ∈ [−M, M ] les points tels que
v(s 0 , t 0 ) = v(s 1 , t 0 ) = · · · = v(s N , t 0 ).
Lemme 8.6.4. Pour tout r > 0, il existe un δ > 0 tel que, si |t − t 0 | < δ et
|s − s 0 | < δ, il existe s
∈ B r (s j ) avec v(s, t) = v(s
, t).
Démonstration du lemme. Si ce n’était pas le cas, il existerait une suite
(σ n , t n ) tendant vers (s 0 , t 0 ) telle que les points multiples (σ, t n ) de (σ n , t n )
ont la propriété que σ /
∈ B r (s j ) pour j = 1, . . . , n. Soit alors (σ
n , t n ) un
point multiple de (σ n , t n ). Nous savons par la propriété (1) ci-dessus que
|σ
n | ≤ M et par la propriété (2) que |σ
n − s 0 | ≥ ε.