8.6. LES SOLUTIONS SONT « INJECTIVES QUELQUE PART »
231
Puisque la suite (s
n ) est bornée, extrayons-en une suite convergente de
limite s
. Comme v(s, t) = v(s
, t), par définition de R(v), s
= s. Nous
avons deux suites (s n ) et (s
n ), avec s n = s
n et lim s n = lim s
n = s. Par
conséquent,
∂v
∂s
(s, t) = lim
n→∞
v(s n , t) − v(s
n , t)
s n − s
n
= 0,
ce qui est contraire à l’hypothèse que (s, t) ∈ R(v).
Il nous reste à démontrer que R(v) est dense. Comme C(v) est discret,
il suffit de montrer que R(v) est dense dans le complémentaire de C(v).
Il est clair que tout (s, t) ∈ R
2 avec (s, t) ∈ C(v) est limite d’une suite
(s n , t) ∈ C(v) avec v(s n , t) = x
± (t). En effet,
si v(s + 1/n, t) = x
+ (t) (par exemple), alors
∂v
∂s
(s, t) = 0.
Montrons donc que tout point (s 0 , t 0 ) ∈ R × [0, 1] avec
∂v
∂s
(s 0 , t 0 ) = 0 et v(s 0 , t 0 ) = x
± (t 0 )
est limite d’une suite de points de R(v). Si ce n’était pas le cas, il existerait
une petite boule ouverte centrée en (s 0 , t 0 ) telle que
B ε (s 0 , t 0 ) ∩ R(u) = ∅.
Si le rayon ε a été choisi assez petit, les deux propriétés suivantes sont
satisfaites pour un M ≥ 0 assez grand :
(1) Si |t − t 0 | ≤ ε et |s| ≥ M , v(s, t) ∈ u(B ε (s 0 , t 0 )) et x
± (t) /
∈
v(B ε (s 0 , t 0 )) ; sinon, il existerait deux suites, t n et t
n tendant vers t 0
et deux suites s n et s
n avec lim s n = ±∞ et lim s
n = s 0 telles que
v(s n , t n ) = v(s
n , t
n ), ce qui impliquerait v(s 0 , t 0 ) = x
± (t 0 ) (ce qui est
faux).
(2) Si |t − t 0 | ≤ ε, l’application
[s 0 − ε, s 0 + ε] −→ W
s −→ v(s, t)
est une immersion injective ; sinon, il existerait deux suites s n et s
n (avec
s n = s
n ) tendant vers s 0 et une suite t n tendant vers t 0 telles que v(s n , t n ) =
v(s
n ; t n ), de sorte que nous aurions ∂v/∂s(s 0 , t 0 ) = 0. Ceci est illustré sur
la figure 3 (l’axe des s est représenté horizontalement) : les multiples des
points de la boule B ε (s 0 , t 0 ) ne sont pas dans les zones grisées.
Grâce à ces deux propriétés, nous avons en particulier
∀ (s, t) ∈ B ε (s 0 , t 0 ),
∂v
∂s
(s, t) = 0 et v(s, t) = x
± (t).
Autrement, v est localement constante et (s 0 , t 0 ) ∈ C(v).
231
Puisque la suite (s
n ) est bornée, extrayons-en une suite convergente de
limite s
. Comme v(s, t) = v(s
, t), par définition de R(v), s
= s. Nous
avons deux suites (s n ) et (s
n ), avec s n = s
n et lim s n = lim s
n = s. Par
conséquent,
∂v
∂s
(s, t) = lim
n→∞
v(s n , t) − v(s
n , t)
s n − s
n
= 0,
ce qui est contraire à l’hypothèse que (s, t) ∈ R(v).
Il nous reste à démontrer que R(v) est dense. Comme C(v) est discret,
il suffit de montrer que R(v) est dense dans le complémentaire de C(v).
Il est clair que tout (s, t) ∈ R
2 avec (s, t) ∈ C(v) est limite d’une suite
(s n , t) ∈ C(v) avec v(s n , t) = x
± (t). En effet,
si v(s + 1/n, t) = x
+ (t) (par exemple), alors
∂v
∂s
(s, t) = 0.
Montrons donc que tout point (s 0 , t 0 ) ∈ R × [0, 1] avec
∂v
∂s
(s 0 , t 0 ) = 0 et v(s 0 , t 0 ) = x
± (t 0 )
est limite d’une suite de points de R(v). Si ce n’était pas le cas, il existerait
une petite boule ouverte centrée en (s 0 , t 0 ) telle que
B ε (s 0 , t 0 ) ∩ R(u) = ∅.
Si le rayon ε a été choisi assez petit, les deux propriétés suivantes sont
satisfaites pour un M ≥ 0 assez grand :
(1) Si |t − t 0 | ≤ ε et |s| ≥ M , v(s, t) ∈ u(B ε (s 0 , t 0 )) et x
± (t) /
∈
v(B ε (s 0 , t 0 )) ; sinon, il existerait deux suites, t n et t
n tendant vers t 0
et deux suites s n et s
n avec lim s n = ±∞ et lim s
n = s 0 telles que
v(s n , t n ) = v(s
n , t
n ), ce qui impliquerait v(s 0 , t 0 ) = x
± (t 0 ) (ce qui est
faux).
(2) Si |t − t 0 | ≤ ε, l’application
[s 0 − ε, s 0 + ε] −→ W
s −→ v(s, t)
est une immersion injective ; sinon, il existerait deux suites s n et s
n (avec
s n = s
n ) tendant vers s 0 et une suite t n tendant vers t 0 telles que v(s n , t n ) =
v(s
n ; t n ), de sorte que nous aurions ∂v/∂s(s 0 , t 0 ) = 0. Ceci est illustré sur
la figure 3 (l’axe des s est représenté horizontalement) : les multiples des
points de la boule B ε (s 0 , t 0 ) ne sont pas dans les zones grisées.
Grâce à ces deux propriétés, nous avons en particulier
∀ (s, t) ∈ B ε (s 0 , t 0 ),
∂v
∂s
(s, t) = 0 et v(s, t) = x
± (t).
Autrement, v est localement constante et (s 0 , t 0 ) ∈ C(v).