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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
Lemme 8.6.2. Il existe une constante δ > 0 telle que (dv) z = 0 pour
0 < |z| < δ.
La démonstration de ce lemme utilise le « principe de similitude » 8.6.8
et est différée jusqu’à la page 237.
Avant d’énoncer le deuxième résultat, considérons une solution v : R
2
→ W
de classe C
∞ avec toutes les propriétés données par la proposition 8.6.1.
Rappelons que
R(v) =
(s, t) ∈ R
2
|
∂v
∂s
(s, t) = 0,
v(s, t) = x
± (t) et v(s, t) ∈ v(R − {s} , t)
.
Définition. Faisons la convention que v(±∞, t) = x
± (t). Soit (s, t) ∈ R
2 .
Appelons point multiple de (s, t) un point (s
, t) (avec le même t !) tel que
s
∈ R ∪ {±∞} et s
= s, tel que v(s
, t) = v(s, t).
Ainsi, par définition, R(v) est l’ensemble des points dans le complémentaire de C(v) qui n’admettent pas de multiple.
Le résultat d’« injectivité » que nous avons en vue est la proposition :
Proposition 8.6.3. Soit v une solution de classe C
∞ de l’équation de CauchyRiemann, satisfaisant à l’hypothèse de périodicité v(s, t + 1) = ϕ(v(s, t)), et
telle que ∂v/∂s ≡ 0. Alors R(v) est un ouvert dense de R
2 .
Démonstration. Nous divisons la démonstration en deux étapes : nous montrons
– que R(v) est ouvert, ce qui est assez facile, puisque deux des conditions
intervenant dans sa définition sont évidemment des conditions ouvertes,
– puis (et c’est la partie délicate) que R(v) est dense.
D’abord, R(v) est un ouvert, autrement dit, son complémentaire est
fermé. Si ce n’était pas le cas, il existerait une suite (s n , t n ) /
∈ R(v) convergeant vers une limite (s, t) ∈ R(v). Les deux premières conditions définissant
R(v) sont ouvertes, par conséquent, pour n assez grand, on a
∂v
∂s
(s n , t n ) = 0 et v(s n , t n ) = x
± (t).
C’est la condition d’injectivité qui est en cause, on a donc pour tout n un
s
n ∈ R tel que s
n = s n et v(s n , t n ) = v(s
n , t n ).
Montrons qu’une telle suite (s
n ) est bornée. Si ce n’était pas le cas, elle
aurait une sous-suite tendant vers ±∞ et (pour cette sous-suite)
v(s, t) = lim v(s
n , t n ) = x
± (t),
ce qui est interdit par le fait que (s, t) ∈ R(v).
CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
Lemme 8.6.2. Il existe une constante δ > 0 telle que (dv) z = 0 pour
0 < |z| < δ.
La démonstration de ce lemme utilise le « principe de similitude » 8.6.8
et est différée jusqu’à la page 237.
Avant d’énoncer le deuxième résultat, considérons une solution v : R
2
→ W
de classe C
∞ avec toutes les propriétés données par la proposition 8.6.1.
Rappelons que
R(v) =
(s, t) ∈ R
2
|
∂v
∂s
(s, t) = 0,
v(s, t) = x
± (t) et v(s, t) ∈ v(R − {s} , t)
.
Définition. Faisons la convention que v(±∞, t) = x
± (t). Soit (s, t) ∈ R
2 .
Appelons point multiple de (s, t) un point (s
, t) (avec le même t !) tel que
s
∈ R ∪ {±∞} et s
= s, tel que v(s
, t) = v(s, t).
Ainsi, par définition, R(v) est l’ensemble des points dans le complémentaire de C(v) qui n’admettent pas de multiple.
Le résultat d’« injectivité » que nous avons en vue est la proposition :
Proposition 8.6.3. Soit v une solution de classe C
∞ de l’équation de CauchyRiemann, satisfaisant à l’hypothèse de périodicité v(s, t + 1) = ϕ(v(s, t)), et
telle que ∂v/∂s ≡ 0. Alors R(v) est un ouvert dense de R
2 .
Démonstration. Nous divisons la démonstration en deux étapes : nous montrons
– que R(v) est ouvert, ce qui est assez facile, puisque deux des conditions
intervenant dans sa définition sont évidemment des conditions ouvertes,
– puis (et c’est la partie délicate) que R(v) est dense.
D’abord, R(v) est un ouvert, autrement dit, son complémentaire est
fermé. Si ce n’était pas le cas, il existerait une suite (s n , t n ) /
∈ R(v) convergeant vers une limite (s, t) ∈ R(v). Les deux premières conditions définissant
R(v) sont ouvertes, par conséquent, pour n assez grand, on a
∂v
∂s
(s n , t n ) = 0 et v(s n , t n ) = x
± (t).
C’est la condition d’injectivité qui est en cause, on a donc pour tout n un
s
n ∈ R tel que s
n = s n et v(s n , t n ) = v(s
n , t n ).
Montrons qu’une telle suite (s
n ) est bornée. Si ce n’était pas le cas, elle
aurait une sous-suite tendant vers ±∞ et (pour cette sous-suite)
v(s, t) = lim v(s
n , t n ) = x
± (t),
ce qui est interdit par le fait que (s, t) ∈ R(v).