8.6. LES SOLUTIONS SONT « INJECTIVES QUELQUE PART »
229
Ici, X est un champ de vecteurs (dépendant périodiquement du temps) sur
R
2n et X et J sont supposés de classe C
∞ . Toute solution u de classe W
1,p
(avec p > 2) est en fait de classe C
∞ . Nous commençons par transformer
cette équation en une équation de Cauchy-Riemann sur R
2 .
Proposition 8.6.1. Soit u une solution de l’équation
∂u
∂s
+ J(t, u)
∂u
∂t
− X(t, u)
= 0.
Il existe une structure presque complexe J et un difféomorphisme ϕ sur W ,
ainsi qu’une application v : R
2
→ W , de classe C
∞ , telle que
⎧
⎨
⎩
∂v
∂s
+ J
∂v
∂t
= 0
v(s, t + 1) = ϕ(v(s, t)),
et, pour (s, t) ∈ R × [0, 1[, C(u) = C(v) (u et v ont les mêmes points
critiques) et R(u) = R(v).
Démonstration. Comme W × S
1 est compacte, le « flot » ψ t de X t est défini
sur tout W , ainsi nous avons une application
ψ t : W −→ W telle que
d
dt
ψ t = X t ◦ ψ t et ψ 0 = Id .
Posons v(s, t) = ψ
−1
t (u(s, t)). Ainsi
∂u
∂s
= (dψ t )
∂v
∂s
et
∂u
∂t
= (dψ t )
∂v
∂t
+ X t (u),
et par suite
0 =
∂u
∂s
+ J
∂u
∂t
− X t (u)
= (dψ t )
∂v
∂s
+ J(u)(dψ t )
∂v
∂s
= (dψ t )
∂v
∂s
+ (dψ t )
−1 J(u)(dψ t )
∂v
∂t
.
En notant (dψ t )
−1 J(u)(dψ t ) = ψ
t J(v), nous avons constaté que v est une
solution de
∂v
∂s
+ ψ
t J(v)
∂v
∂t
= 0.
Il reste à poser ϕ = ψ 1 (et à renommer J la structure complexe obtenue).
La vérification des propriétés de ϕ et de v est banale.
Appliquons la proposition 8.6.1 : démontrer le théorème 8.5.4 (sur les
points critiques) revient à démontrer les deux résultats exprimés dans les
deux énoncés qui suivent. Le premier affirme que l’ensemble des points critiques de v (et donc aussi celui de u), est discret.