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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
Démonstration du théorème 8.1.2. Supposons que h ∈ H reg . Alors, d’après
le lemme 8.5.8, h est une valeur régulière de
π : Z(x, y, J) −→ C
∞
ε (H 0 ).
Donc π
−1 (h) est une variété et sa dimension est égale à l’indice de Fredholm
de π, lequel vaut
dim Ker(dπ) (u,H) = dim Ker(dF) u
= Ind(dF) u
= μ(x) − μ(y).
Les éléments de π
−1 (h) sont les solutions dans P
1,p de l’équation de Floer
correspondant à (H 0 + h 0 , J). Grâce à la régularité elliptique (voir le chapitre 12), on a
π
−1 (h) ⊂ M(x, y, H 0 + h).
La proposition 8.2.3 donne l’inclusion en sens inverse, par suite
π
−1 (h) = M(x, y, H 0 + h),
ce que nous voulions démontrer.
Remarque 8.5.9. Nous avons obtenu que, pour h ∈ H r´ eg et pour tous points
critiques x et y de A H0 , l’espace M(x, y, H 0 + h, J) est une sous-variété de
P
1,p (x, y). Sur M(x, y, H 0 + h, J), nous utilisons la topologie C
∞
loc . En effet,
puisque p > 2, P
1,p (x, y) s’injecte dans l’espace des fonctions continues,
continûment pour la topologie C
0
loc et, comme nous l’avons remarqué (dans
la proposition 6.5.3), sur M(H 0 + h, J) (dont M(x, y, H 0 + h, J) est un sousespace), les topologies C
0
loc et C
∞
loc coïncident.
L’ensemble ouvert dense H r´ eg , dont le théorème 8.1.1 annonce l’existence,
est obtenu en prenant l’intersection des différents ouverts denses obtenus en
considérant les différents couples (x, y) d’orbites périodiques de période 1.
Pour finir de démontrer les théorèmes 8.1.5 et 8.1.1, il reste à démontrer
que (dF) u a effectivement la propriété de Fredholm et à calculer son indice,
ce que nous faisons dans les §§ 8.7 et 8.8.
8.6. Les solutions de Floer sont « injectives quelque part »
8.6.a. L’injectivité « en s ». Nous démontrons ici le théorème 8.5.4 et
un principe de prolongement que nous avons utilisé dans la démonstration
de la proposition 8.1.4 page 225 (l’énoncé 8.6.6 ci-dessous). Posons z = s+it
et considérons une solution u de l’équation
∂u
∂s
+ J(t, u)
∂u
∂t
− X(t, u)
= 0.
CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
Démonstration du théorème 8.1.2. Supposons que h ∈ H reg . Alors, d’après
le lemme 8.5.8, h est une valeur régulière de
π : Z(x, y, J) −→ C
∞
ε (H 0 ).
Donc π
−1 (h) est une variété et sa dimension est égale à l’indice de Fredholm
de π, lequel vaut
dim Ker(dπ) (u,H) = dim Ker(dF) u
= Ind(dF) u
= μ(x) − μ(y).
Les éléments de π
−1 (h) sont les solutions dans P
1,p de l’équation de Floer
correspondant à (H 0 + h 0 , J). Grâce à la régularité elliptique (voir le chapitre 12), on a
π
−1 (h) ⊂ M(x, y, H 0 + h).
La proposition 8.2.3 donne l’inclusion en sens inverse, par suite
π
−1 (h) = M(x, y, H 0 + h),
ce que nous voulions démontrer.
Remarque 8.5.9. Nous avons obtenu que, pour h ∈ H r´ eg et pour tous points
critiques x et y de A H0 , l’espace M(x, y, H 0 + h, J) est une sous-variété de
P
1,p (x, y). Sur M(x, y, H 0 + h, J), nous utilisons la topologie C
∞
loc . En effet,
puisque p > 2, P
1,p (x, y) s’injecte dans l’espace des fonctions continues,
continûment pour la topologie C
0
loc et, comme nous l’avons remarqué (dans
la proposition 6.5.3), sur M(H 0 + h, J) (dont M(x, y, H 0 + h, J) est un sousespace), les topologies C
0
loc et C
∞
loc coïncident.
L’ensemble ouvert dense H r´ eg , dont le théorème 8.1.1 annonce l’existence,
est obtenu en prenant l’intersection des différents ouverts denses obtenus en
considérant les différents couples (x, y) d’orbites périodiques de période 1.
Pour finir de démontrer les théorèmes 8.1.5 et 8.1.1, il reste à démontrer
que (dF) u a effectivement la propriété de Fredholm et à calculer son indice,
ce que nous faisons dans les §§ 8.7 et 8.8.
8.6. Les solutions de Floer sont « injectives quelque part »
8.6.a. L’injectivité « en s ». Nous démontrons ici le théorème 8.5.4 et
un principe de prolongement que nous avons utilisé dans la démonstration
de la proposition 8.1.4 page 225 (l’énoncé 8.6.6 ci-dessous). Posons z = s+it
et considérons une solution u de l’équation
∂u
∂s
+ J(t, u)
∂u
∂t
− X(t, u)
= 0.