8.5. LA TRANSVERSALITÉ
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une application de Fredholm (lisse). Alors l’ensemble
{y ∈ F | si y = f (x) pour un x ∈ U , T x F est surjective}
des valeurs régulières de F est une intersection dénombrable d’ouverts
denses.
Remarque 8.5.7. Dans ce théorème, la séparabilité garantit que, de tout recouvrement ouvert, on peut extraire un recouvrement dénombrable. Elle est
indispensable pour obtenir une intersection dénombrable d’ouverts denses,
une partie dense, donc.
Démontrons maintenant :
Lemme 8.5.8. Les valeurs régulières de π sont exactement les h ∈ C
∞
ε (H 0 )
tels que, pour tout u ∈ M(H 0 + h, J), l’application (dF) u est surjective.
Démonstration. Supposons que h soit une valeur régulière de π. Choisissons
un u ∈ M(H 0 +h, J) et montrons que (dF) u est surjective. Si ce n’était pas le
cas, alors, comme dans le lemme 8.5.1, il existerait un Z ∈ L
q (R × S
1 ; R
2n )
tel que
∀ Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), (dF) u (Y ), Z = 0.
Comme (dπ) (u,H) est surjective, pour tout η ∈ C
∞
ε (H 0 ), il existe un champ
Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) tel que
(dF) u (Y ) + grad u η = 0.
À partir de ces deux égalités, la démonstration de la proposition 8.1.4 (voir
le § 8.5.b) donne Z = 0 et une contradiction. Par suite, (dF) u est surjective.
Réciproquement, étant donné h ∈ C
∞
ε (H 0 ), si (dF) u est surjective pour
tout u ∈ M(H 0 + h, J), étant donné un η ∈ C
∞
ε (H 0 ), choisissons Y ∈
W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) tel que
(dF) u (Y ) = − grad u η.
Alors, (Y, η) ∈ T (u,H) Z(x, y, J) et (dπ) (u,H) (Y, η) = η, donc (dπ) (u,H) est
surjective, et h est une valeur régulière de π.
Le lemme 8.5.8 donne immédiatement (en vertu du théorème de SardSmale, ici le théorème 8.5.6) le théorème 8.1.1. Pour que cette démonstration
soit vraiment complète, il reste à démontrer le théorème 8.5.4 et le principe
de prolongement (que nous démontrerons sous le nom de proposition 8.6.6).
Ceci étant admis, démontrons enfin que (quitte à perturber le hamiltonien
initial), l’espace des trajectoires de x à y est une variété de la dimension
voulue, c’est-à-dire le théorème 8.1.2.
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une application de Fredholm (lisse). Alors l’ensemble
{y ∈ F | si y = f (x) pour un x ∈ U , T x F est surjective}
des valeurs régulières de F est une intersection dénombrable d’ouverts
denses.
Remarque 8.5.7. Dans ce théorème, la séparabilité garantit que, de tout recouvrement ouvert, on peut extraire un recouvrement dénombrable. Elle est
indispensable pour obtenir une intersection dénombrable d’ouverts denses,
une partie dense, donc.
Démontrons maintenant :
Lemme 8.5.8. Les valeurs régulières de π sont exactement les h ∈ C
∞
ε (H 0 )
tels que, pour tout u ∈ M(H 0 + h, J), l’application (dF) u est surjective.
Démonstration. Supposons que h soit une valeur régulière de π. Choisissons
un u ∈ M(H 0 +h, J) et montrons que (dF) u est surjective. Si ce n’était pas le
cas, alors, comme dans le lemme 8.5.1, il existerait un Z ∈ L
q (R × S
1 ; R
2n )
tel que
∀ Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), (dF) u (Y ), Z = 0.
Comme (dπ) (u,H) est surjective, pour tout η ∈ C
∞
ε (H 0 ), il existe un champ
Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) tel que
(dF) u (Y ) + grad u η = 0.
À partir de ces deux égalités, la démonstration de la proposition 8.1.4 (voir
le § 8.5.b) donne Z = 0 et une contradiction. Par suite, (dF) u est surjective.
Réciproquement, étant donné h ∈ C
∞
ε (H 0 ), si (dF) u est surjective pour
tout u ∈ M(H 0 + h, J), étant donné un η ∈ C
∞
ε (H 0 ), choisissons Y ∈
W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) tel que
(dF) u (Y ) = − grad u η.
Alors, (Y, η) ∈ T (u,H) Z(x, y, J) et (dπ) (u,H) (Y, η) = η, donc (dπ) (u,H) est
surjective, et h est une valeur régulière de π.
Le lemme 8.5.8 donne immédiatement (en vertu du théorème de SardSmale, ici le théorème 8.5.6) le théorème 8.1.1. Pour que cette démonstration
soit vraiment complète, il reste à démontrer le théorème 8.5.4 et le principe
de prolongement (que nous démontrerons sous le nom de proposition 8.6.6).
Ceci étant admis, démontrons enfin que (quitte à perturber le hamiltonien
initial), l’espace des trajectoires de x à y est une variété de la dimension
voulue, c’est-à-dire le théorème 8.1.2.