226
CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
La dérivée de notre fonction de s est ainsi
d
ds
1
0
Y, Z dt =
1
0
∂Y
∂s
, Z
+
Y,
∂Z
∂s
dt
=
1
0
− J
∂Y
∂t
, Z
− −SY, Z +
Y, J
∂Z
∂t
+ Y,
t
SZ
dt
= −
1
0
J
∂Y
∂t
, Z
+
Y, J
∂Z
∂t
dt
= −
1
0
∂
∂t
JY, Z dt = 0.
Cette contradiction implique que Z est nul, ce qui termine (enfin) la démonstration de la proposition 8.1.4. Et celle de la proposition 8.1.3.
8.5.c. Vers la preuve de 8.1.1 et 8.1.2, l’espace tangent à Z(x, y, J).
La contradiction obtenue à la fin de la démonstration précédente achève
aussi de démontrer la proposition 8.1.3. Nous avons ainsi acquis le fait que
Z(x, y, J) est une variété de Banach. Son espace tangent en un point (u, h)
est le noyau de (dσ) (u,h) , c’est-à-dire l’espace
(Y, η) ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) × C
∞
ε (H 0 ) | (dF) u Y + grad u η = 0
.
Considérons la projection
π : Z(x, y, J) −→ C
∞
ε (H 0 )
(u, H 0 + h) −→ h
et son application tangente
(dπ) (u,H) : T (u,H) Z(x, y, J) −→ T h C
∞
ε (H 0 ) = C
∞
ε (H 0 )
(Y, η) −→ η
(où H = H 0 + h). Notons que π est lisse et vérifions que π est une application de Fredholm. Le noyau de (dπ) (u,H0+h) est exactement celui de
L = (dF) u , donc il est de dimension finie. Son image est l’image réciproque
par l’application linéaire
C
∞
ε (H 0 ) −→ L
p (u
T W )
η −→ grad u η
de celle de L, donc elle est de codimension finie (et fermée).
On peut donc appliquer le théorème de Sard-Smale, dont nous rappelons
ici l’énoncé.
Théorème 8.5.6 (de Sard-Smale). Soient E et F deux espaces de Banach
séparables, soit U un ouvert de E et soit
F : U −→ F