8.5. LA TRANSVERSALITÉ
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La relation
Z(s, t) = λ(t)
∂u
∂s
(s, t)
est donc vraie sur R × S
1 , et le lemme 8.5.3 est démontré.
Démonstration de la proposition 8.1.4. Montrons que λ(t) = 0 pour tout t.
Si ce n’était pas le cas, on aurait encore un t 0 tel que Z(s, t 0 ) = 0 pour
tout s ∈ R. En particulier, toutes les dérivées ∂
k Z/∂s
k (s, t 0 ) sont nulles.
Comme Z est solution de L
Z = 0, on montre par récurrence que toutes les
dérivées de Z s’annuleraient pour tout s et t = t 0 . De
L
Z = −
∂Z
∂s
+ J
∂Z
∂t
+
t S(s, t)Z,
nous déduisons que Z est solution d’une équation du type « CauchyRiemann perturbée » et satisfait donc à un principe de prolongement
analogue à celui auquel obéissent les applications holomorphes : s’il est nul
avec toutes ses dérivées sur R × {t 0 }, il est nul partout. Nous explicitons
la notion « Cauchy-Riemann perturbée » et démontrons le principe de
prolongement (c’est la proposition 8.6.6) au § 8.6.b.
Ce principe de prolongement 8.6.6 impliquerait que Z est identiquement
nulle, contrairement à ce que nous avons supposé.
Donc λ(t) = 0 pour tout t, et nous supposerons que
λ(t) > 0 pour tout t.
Ainsi,
1
0
∂u
∂s
(s, t), Z(s, t)
dt =
1
0
λ(t)
∂u
∂s
(s, t)
2
dt > 0 pour tout s ∈ R,
et par suite cette fonction de s est strictement positive et tend vers 0 (comme
∂u/∂s) quand s → ±∞. Contradictoire serait le fait que cette fonction soit
constante. Pour conclure, montrons donc qu’elle est, en effet, constante.
Rappelons que, comme nous l’avons déjà remarqué (remarque 8.4.8),
∂u/∂s est solution de LY = 0. Posons, pour alléger la notation,
Y (s, t) =
∂u
∂s
(s, t).
On a LY = 0 et L
Z = 0, c’est-à-dire
∂Y
∂s
= −J
∂Y
∂t
− SY et
∂Z
∂s
= J
∂Z
∂t
+
t
SZ.