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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
dense dans R×S
1 , la relation Z = λ∂u/∂s est encore vraie sur R×S
1
−C(u).
Pour tout h ∈ C
∞
ε (H 0 ), on a
R×S 1
(dh) u (Z) ds dt =
R×S 1
λ(s, t)(dh) u
∂u
∂s
ds dt
=
R×S 1
λ(s, t)
∂
∂s
(h(u(s, t), t) ds dt.
Supposons qu’il existe un point (s 0 , t 0 ) de R × S
1
− C(u) en lequel ∂λ/∂s
n’est pas nul. Cette propriété est encore valable sur un carré C δ centré en
(s 0 , t 0 ) et contenu dans R ×S
1
−C(u). Comme précédemment, construisons
une boîte B dans W × S
1 de sorte que, si h est à support dans B,
R×S 1
(dh) u (Z) ds dt =
Cδ
(dh) u (Z) ds dt.
Utilisons encore la fonction plateau β : C δ → R choisie ci-dessus pour
définir
h( u(s, t)) = −β(s, t)
∂λ
∂s
(s, t) sur
u(C δ )
(en la prolongeant arbitrairement en une fonction à support dans B). Nous
avons donc, grâce à une intégration par parties dans B,
R×S 1
(dh) u (Z) ds dt =
C δ
(dh) u (Z) ds dt
=
Cδ
λ(s, t)
∂
∂s
(h(u(s, t), t) ds dt
= −
Cδ
∂λ
∂s
(s, t)h(u(s, t), t) ds dt
=
C δ
β(s, t)
∂λ
∂s
(s, t)
2
ds dt
≥
C δ
∂λ
∂s
(s, t)
2
ds dt > 0.
Toujours par densité, on peut supposer que h ∈ C
∞
ε (H 0 ) comme ci-dessus.
Nous avons ainsi contredit le lemme 8.5.1, donc la supposition (de l’existence
de (s 0 , t 0 ) en lequel ∂λ/∂s n’est pas nul) était fausse. C’est donc que
∀ (s, t) ∈ R × S
1
− C(u),
∂λ
∂s
(s, t) = 0.
Puisque C(u) est discret, R × S
1
− C(u) est connexe (une assertion laissée en exercice aux lecteurs). Donc λ(s, t) = λ(t) ne dépend pas de s sur
R × S
1
− C(u). On peut alors prolonger cette fonction en une fonction C
∞
sur R
2 , simplement, en posant
λ(s 0 , t 0 ) = λ(s 0 + ε, t 0 ) si (s 0 , t 0 ) ∈ C(u).