8.5. LA TRANSVERSALITÉ
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À extraction près d’une sous-suite, la suite (s n , t n ) tend vers (−∞, t # ),
(+∞, t # ) ou (s # , t # ) ∈ R × S
1 . On a forcément t # = t et, soit x(t ) =
u(s , t ), soit y(t ) = u(s , t ), soit encore u(s # , t ) = u(s , t ). Or chacune
de ces trois égalités contredit le fait que (s , t ) soit un point régulier de u,
ce qu’il doit être puisque (s , t ) ∈ C δ ⊂ R(u).
Il nous est maintenant possible de définir h. Voici cette définition.
D’abord, à l’extérieur de B, nous choisissons h ≡ 0. Remarquons qu’alors h
s’annule près des orbites 1-périodiques de X H . Pour définir h à l’intérieur
de B, on choisit une fonction β positive, de classe C
∞ sur C δ , qui vaut 1
sur un carré C δ pour un δ
< δ et qui est nulle au voisinage du bord de C δ .
Soit γ s,t : [−ε 0 , ε 0 ] → B une courbe telle que
γ s,t (0) =
u(s, t) et γ
s,t (0) = Z(s, t).
La formule h(γ s,t (σ)) = σβ(s, t) définit bien une fonction sur une partie de
la boîte difféomorphe à [−ε 0 , ε 0 ] × C δ parce que Z est transverse à l’image
u(C δ ). De plus, sur cette partie de B, on a
(dh) u(s,t) (Z(s, t)) = β(s, t).
On prolonge h arbitrairement en une fonction à support dans B. En utilisant
le lemme auxiliaire 8.5.5, on obtient finalement
R×S 1
(dh) u (Z) ds dt =
Cδ
(dh) u (Z) ds dt =
Cδ
β(s, t) ds dt > 0.
Comme les fonctions de C
∞
ε (H 0 ) à support dans B sont denses dans les
fonctions C
∞ à support dans B (la remarque 8.3.4), nous pouvons approcher h par une fonction de C
∞
ε (H 0 ) de sorte que l’intégrale reste strictement
positive.
La supposition que ∂u/∂s(s 0 , t 0 ) et Z(s 0 , t 0 ) sont linéairement indépendants nous a menés à une contradiction. Il existe donc une fonction
λ : R(u) → R telle que, pour tous (s, t) ∈ R(u),
Z(s, t) = λ(s, t)
∂u
∂s
(s, t).
Pour finir de démontrer notre lemme, il faut maintenant démontrer que
λ(s, t) ne dépend pas de s.
La fonction λ peut alors s’exprimer par la formule
λ(s, t) =
Z(s, t), ∂u/∂s(s, t)
∂u/∂s(s, t)
2
qui montre que c’est une fonction C
∞ sur R(u). Cette formule permet aussi
de prolonger λ au complémentaire de C(u) dans R × S
1 . Comme R(u) est
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À extraction près d’une sous-suite, la suite (s n , t n ) tend vers (−∞, t # ),
(+∞, t # ) ou (s # , t # ) ∈ R × S
1 . On a forcément t # = t et, soit x(t ) =
u(s , t ), soit y(t ) = u(s , t ), soit encore u(s # , t ) = u(s , t ). Or chacune
de ces trois égalités contredit le fait que (s , t ) soit un point régulier de u,
ce qu’il doit être puisque (s , t ) ∈ C δ ⊂ R(u).
Il nous est maintenant possible de définir h. Voici cette définition.
D’abord, à l’extérieur de B, nous choisissons h ≡ 0. Remarquons qu’alors h
s’annule près des orbites 1-périodiques de X H . Pour définir h à l’intérieur
de B, on choisit une fonction β positive, de classe C
∞ sur C δ , qui vaut 1
sur un carré C δ pour un δ
< δ et qui est nulle au voisinage du bord de C δ .
Soit γ s,t : [−ε 0 , ε 0 ] → B une courbe telle que
γ s,t (0) =
u(s, t) et γ
s,t (0) = Z(s, t).
La formule h(γ s,t (σ)) = σβ(s, t) définit bien une fonction sur une partie de
la boîte difféomorphe à [−ε 0 , ε 0 ] × C δ parce que Z est transverse à l’image
u(C δ ). De plus, sur cette partie de B, on a
(dh) u(s,t) (Z(s, t)) = β(s, t).
On prolonge h arbitrairement en une fonction à support dans B. En utilisant
le lemme auxiliaire 8.5.5, on obtient finalement
R×S 1
(dh) u (Z) ds dt =
Cδ
(dh) u (Z) ds dt =
Cδ
β(s, t) ds dt > 0.
Comme les fonctions de C
∞
ε (H 0 ) à support dans B sont denses dans les
fonctions C
∞ à support dans B (la remarque 8.3.4), nous pouvons approcher h par une fonction de C
∞
ε (H 0 ) de sorte que l’intégrale reste strictement
positive.
La supposition que ∂u/∂s(s 0 , t 0 ) et Z(s 0 , t 0 ) sont linéairement indépendants nous a menés à une contradiction. Il existe donc une fonction
λ : R(u) → R telle que, pour tous (s, t) ∈ R(u),
Z(s, t) = λ(s, t)
∂u
∂s
(s, t).
Pour finir de démontrer notre lemme, il faut maintenant démontrer que
λ(s, t) ne dépend pas de s.
La fonction λ peut alors s’exprimer par la formule
λ(s, t) =
Z(s, t), ∂u/∂s(s, t)
∂u/∂s(s, t)
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qui montre que c’est une fonction C
∞ sur R(u). Cette formule permet aussi
de prolonger λ au complémentaire de C(u) dans R × S
1 . Comme R(u) est