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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
Choisissons un réel δ > 0 assez petit pour que le carré
C δ =
(s, t) ∈ R × S
1
| |s − s 0 | ≤ δ et |t − t 0 | ≤ δ
soit contenu dans l’ouvert dense R(u) des valeurs régulières de u. Alors
u : C δ −→ W × S
1
est un plongement (si δ est choisi assez petit, ce que nous faisons). On peut
aussi supposer (toujours en diminuant δ) que Z(s, t) et ∂u/∂s(s, t) sont
linéairement indépendants, comme vecteurs de T u(s,t) W quand (s, t) ∈ C δ .
Vue dans W × S
1 , cette condition se traduit par le fait que Z(s, t) est
transverse au plan tangent à l’image
u(C δ ).
Comme
u : C δ → W × S
1 est un plongement, on peut considérer, quitte
à diminuer encore δ, un paramétrage local
ψ : C δ × D ε −→ W × S
1
(ici D ε =
y ∈ R
2n−1
| |y ≤ ε
) tel que ψ| C δ ×{0} =
u. On appelle B (pour
« boîte ») l’image de ψ. Cette boîte est représentée à gauche de la figure 2.
Z
u(C δ )
une
partie de Im( u)
Z(s, t)
Z(s , t
)
Figure 2
Nous allons construire h à support dans B en prescrivant ses valeurs sur
les courbes intégrales de Z le long de
u(C δ ). Ce sera difficile de le faire si le
cylindre Im( u) intersecte B ailleurs qu’en
u(C δ ) (comme sur la partie droite
de la figure 2). Nous excluons cette possibilité par un lemme auxiliaire.
Lemme 8.5.5. Pour ε assez petit,
u(s, t) ∈ Im(ψ) si et seulement si
(s, t) ∈ C δ .
Démonstration. Si la propriété annoncée par le lemme auxiliaire n’est
pas vraie, il existe une suite ε n tendant vers 0 et une suite (s n , t n ) dans
R × S
1
− C δ telles que
u(s n , t n ) = ψ(s
n , t
n , y n ) pour (s
n , t
n , y n ) ∈ C δ × D εn ,
lim
n→+∞
(s
n , t
n , y n ) = (s , t , 0) ∈ C δ × R
2n−1 .
et