8.5. LA TRANSVERSALITÉ
221
Cette relation est satisfaite lorsque Z(s, t) = λ(t)∂u/∂s :
R×S 1
dh t
λ(t)
∂u
∂s
ds dt =
S 1
λ(t)
R
∂
∂s
h t (u(s, t)) ds dt = 0
puisque, par définition de C
∞
ε (H 0 ), h s’annule près des orbites 1-périodiques
de X H . Montrons réciproquement :
Lemme 8.5.3. Si Z ∈ L
q (R × S
1 ; u
T W ) est de classe C
∞ et vérifie
∀ h ∈ C
∞
ε (H 0 ), Z, grad u h = 0,
alors il existe une fonction C
∞ λ : S
1
→ R telle que
Z(s, t) = λ(t)
∂u
∂s
(s, t).
Démonstration. La démonstration s’appuie sur un théorème de Floer, Hofer
et Salamon qui garantit que toute solution de l’équation de Floer est « injective quelque part », une notion qui est précisée dans les définitions qui
viennent et l’énoncé 8.5.4, une propriété qui est démontrée au § 8.6.
Soit u ∈ M(x, y, J, H). Un point (s 0 , t 0 ) ∈ R × S
1 est dit point critique
de u si ∂u/∂s(s 0 , t 0 ) = 0. Un point (s 0 , t 0 ) est régulier s’il n’est pas critique
et si u(s 0 , t 0 ) = u(s, t 0 ) pour tout s = s 0 (même si s = ±∞, c’est-à-dire
u(s 0 , t 0 ) = x(t 0 ) ou u(s 0 , t 0 ) = y(t 0 )). L’ensemble des points critiques est
noté C(u) ⊂ R × S
1 . On appelle R(u) l’ensemble des points réguliers de u.
Théorème 8.5.4 ([26]). L’ensemble C(u) des points critiques est discret et
l’ensemble R(u) des points réguliers est un ouvert dense de R × S
1 .
Nous démontrons ce théorème au § 8.6.
Soit (s 0 , t 0 ) ∈ R(u). Supposons que ∂u/∂s(s 0 , t 0 ) et Z(s 0 , t 0 ) soient linéairement indépendants. Nous allons construire un h ∈ C
∞
ε (H 0 ) tel que
Z, grad u h = 0, obtenant ainsi une contradiction. Définissons une application
u : R × S
1
−→ W × S
1
(s, t) −→ (u(s, t), t).
Nous considérons Z comme un champ de vecteurs sur W × S
1 le long de
u
(dont la composante sur la direction ∂/∂t ∈ T S
1 est nulle). Considérons
encore h comme une application définie sur W × S
1 , écrivons
R×S 1
dh t (Z) ds dt =
R×S 1
dh(Z) ds dt,
et construisons un h ∈ C
∞
ε (H 0 ) de façon que cette intégrale ne soit pas nulle.
Remarquons qu’il suffit de définir h sur les courbes intégrales du champ de
vecteurs Z au voisinage de l’image de
u.
221
Cette relation est satisfaite lorsque Z(s, t) = λ(t)∂u/∂s :
R×S 1
dh t
λ(t)
∂u
∂s
ds dt =
S 1
λ(t)
R
∂
∂s
h t (u(s, t)) ds dt = 0
puisque, par définition de C
∞
ε (H 0 ), h s’annule près des orbites 1-périodiques
de X H . Montrons réciproquement :
Lemme 8.5.3. Si Z ∈ L
q (R × S
1 ; u
T W ) est de classe C
∞ et vérifie
∀ h ∈ C
∞
ε (H 0 ), Z, grad u h = 0,
alors il existe une fonction C
∞ λ : S
1
→ R telle que
Z(s, t) = λ(t)
∂u
∂s
(s, t).
Démonstration. La démonstration s’appuie sur un théorème de Floer, Hofer
et Salamon qui garantit que toute solution de l’équation de Floer est « injective quelque part », une notion qui est précisée dans les définitions qui
viennent et l’énoncé 8.5.4, une propriété qui est démontrée au § 8.6.
Soit u ∈ M(x, y, J, H). Un point (s 0 , t 0 ) ∈ R × S
1 est dit point critique
de u si ∂u/∂s(s 0 , t 0 ) = 0. Un point (s 0 , t 0 ) est régulier s’il n’est pas critique
et si u(s 0 , t 0 ) = u(s, t 0 ) pour tout s = s 0 (même si s = ±∞, c’est-à-dire
u(s 0 , t 0 ) = x(t 0 ) ou u(s 0 , t 0 ) = y(t 0 )). L’ensemble des points critiques est
noté C(u) ⊂ R × S
1 . On appelle R(u) l’ensemble des points réguliers de u.
Théorème 8.5.4 ([26]). L’ensemble C(u) des points critiques est discret et
l’ensemble R(u) des points réguliers est un ouvert dense de R × S
1 .
Nous démontrons ce théorème au § 8.6.
Soit (s 0 , t 0 ) ∈ R(u). Supposons que ∂u/∂s(s 0 , t 0 ) et Z(s 0 , t 0 ) soient linéairement indépendants. Nous allons construire un h ∈ C
∞
ε (H 0 ) tel que
Z, grad u h = 0, obtenant ainsi une contradiction. Définissons une application
u : R × S
1
−→ W × S
1
(s, t) −→ (u(s, t), t).
Nous considérons Z comme un champ de vecteurs sur W × S
1 le long de
u
(dont la composante sur la direction ∂/∂t ∈ T S
1 est nulle). Considérons
encore h comme une application définie sur W × S
1 , écrivons
R×S 1
dh t (Z) ds dt =
R×S 1
dh(Z) ds dt,
et construisons un h ∈ C
∞
ε (H 0 ) de façon que cette intégrale ne soit pas nulle.
Remarquons qu’il suffit de définir h sur les courbes intégrales du champ de
vecteurs Z au voisinage de l’image de
u.